结论前置：入职半个月被公司辞退，您是否有权申请经济补偿，这主要取决于公司辞退的理由是否合法以及具体情况。若公司违法辞退或符合法定补偿情形，您有权申请经济补偿；若您存在严重违规等行为，则公司无需支付补偿。以下是对此问题的详细分析：
公司合法辞退且无需支付补偿的情形
试用期不符合录用条件：如果公司在招聘时明确了岗位的录用条件，比如特定的专业技能、考核标准等，而您在试用期内未能达到这些条件，并且公司有充分的证据证明这一点，那么公司可以合法辞退您且无需支付经济补偿。
严重违反规章制度：如果公司的规章制度制定程序合法、内容合理，并且已经向您公示告知，而您严重违反了这些规章制度，比如旷工达到一定天数，那么公司也可以合法辞退您且无需支付经济补偿。
其他严重过错：如您因严重失职或营私舞弊给公司造成重大损害，或者您同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，且经公司提出后拒不改正，或者您以欺诈、胁迫等手段使公司在违背真实意思的情况下订立或变更劳动合同，或者您被依法追究刑事责任等，公司同样可以合法辞退您且无需支付经济补偿。
公司合法辞退但需支付补偿的情形
患病或非因工负伤：如果您患病或非因工负伤，医疗期满后不能从事原工作，也不能从事公司另行安排的工作，那么公司辞退您时需要支付经济补偿。
不能胜任工作：如果您经过培训或调整岗位后仍不能胜任工作，公司辞退您时也需要支付经济补偿。
客观情况发生重大变化：如果劳动合同订立时的客观情况发生重大变化，导致合同无法履行，且双方未能就变更合同内容达成协议，公司辞退您时同样需要支付经济补偿。
经济补偿标准：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条，经济补偿按您在本单位工作的年限计算。不满六个月的，公司应向您支付半个月工资的经济补偿。这里的月工资指的是您劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。如果您的月工资高于公司所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，经济补偿的标准将按职工月平均工资三倍的数额支付，且支付经济补偿的年限最高不超过十二年。
公司违法辞退的情形
如果公司没有正当合法的理由辞退您，比如无正当理由无故解雇，那么属于违法辞退。在这种情况下，您可以要求公司支付赔偿金，标准为经济补偿标准的二倍，即一个月工资。
申请经济补偿的流程
如果公司拒绝给予您经济补偿，您可以按照以下步骤维护自己的权益：
收集证据：包括劳动合同、工资单、考勤记录、辞退通知等，以证明您的工作年限和辞退事实。
与公司协商：尝试与公司协商解决，要求公司支付应得的经济补偿。
申请劳动仲裁：如果协商无果，您可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁。
提起诉讼：如果对劳动仲裁结果不服，您还可以向人民法院提起诉讼，进一步维护自己的合法权益。
温馨提示：在处理此类劳动纠纷时，建议您保持冷静，依法维权。如果您在过程中遇到任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。