擅自砍伐树木是违反法律法规的行为，具体处理方式会根据砍伐树木的性质、地点以及砍伐者的主观故意等因素有所不同。以下是对此问题的详细解答：
一、擅自砍伐城市树木的处理
法律依据：
- 根据《城市绿化条例》第二十条，任何单位和个人都不得损坏城市树木花草和绿化设施。如需砍伐，必须事先获得城市人民政府城市绿化行政主管部门的批准，并需按照国家有关规定补植树木或采取其他补救措施。
处罚措施：
- 责令停止违法行为：城市绿化行政主管部门在发现擅自砍伐行为后，会首先责令违法者立即停止侵害。
- 罚款：根据相关地方性法规，擅自砍伐城市树木的将面临罚款处罚，具体标准由各地根据实际情况制定。
- 赔偿损失：违法者需对擅自砍伐树木造成的损失进行赔偿，包括树木本身的经济价值及其生态服务功能价值。
- 补种树木：作为补救措施，违法者可能被要求补种一定数量的树木，以恢复城市绿化生态。
特殊情况：
- 对于擅自砍伐古树名木的行为，处罚将更加严厉。根据《城市古树名木保护管理办法》，砍伐或擅自迁移古树名木的，未构成犯罪的，将由城市园林绿化行政主管部门责令停止侵害并处以罚款；造成损失的，还需承担赔偿责任。若行为构成犯罪，则将依法追究刑事责任。
二、私自砍伐他人树木的处理
民事责任：
- 树木作为他人的合法财产，私自砍伐构成侵权。树木所有者有权要求砍伐者承担民事赔偿责任，赔偿范围涵盖树木本身价值及因砍伐导致的其他经济损失。
行政责任：
- 根据《中华人民共和国森林法》相关规定，未经林业主管部门审核同意擅自改变林地用途或盗伐、滥伐林木的，将面临行政处罚。处罚措施包括责令补种树木、没收盗伐的林木或变卖所得，并处以罚款。若拒不补种或补种不符合规定，林业主管部门将代为补种，费用由违法者承担。
- 在自然保护区、风景名胜区等特殊保护区域内私自砍伐树木，处罚更为严厉。
刑事责任：
- 盗伐林木罪：盗伐森林或其他林木，数量较大的，将面临刑事处罚，包括有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金。
- 滥伐林木罪：滥伐森林或其他林木，数量较大的，同样将面临刑事处罚。
- 故意毁坏财物罪：若砍伐行为同时构成故意毁坏他人财物，也可能被追究刑事责任。
三、总结与建议
擅自砍伐树木是严重的违法行为，将面临多重处罚。因此，我建议市民朋友增强法律意识，爱护城市绿化和他人财产，共同维护我们的生态环境。如有需要砍伐树木的情况，务必先向相关部门申请并获得批准，确保合法合规。同时，对于发现的擅自砍伐行为，也应及时向相关部门举报，共同维护良好的社会秩序和生态环境。