结论：信用卡欠款4000多元，银行是有权起诉并立案的，但具体是否会起诉，还需考虑多种因素。
分析说明：
法律基础：
- 根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，只要符合起诉条件，如原告是与本案有直接利害关系的公民、法人和其他组织，有明确的被告，有具体的诉讼请求和事实、理由，且属于人民法院受理民事诉讼的范围和受诉人民法院管辖，人民法院就应当受理。信用卡欠款纠纷属于民事纠纷范畴，因此银行有权向法院提起诉讼。
起诉门槛：
- 欠款金额并不是决定银行是否起诉的唯一因素。虽然4000多元的欠款相对于一些大额欠款来说金额不大，但银行在决定是否起诉时，还会考虑欠款时间、欠款人的还款意愿、欠款人的经济状况以及银行自身的催收成本等多种因素。
实际案例：
- 在实践中，银行对于小额欠款可能会采取多种催收方式，如电话催收、短信催收、上门催收等，以尽量通过非诉讼方式解决欠款问题。然而，如果欠款人长时间不还款，且银行认为通过诉讼方式能够更有效地追回欠款，那么银行就会选择起诉。
法律后果：
- 如果银行选择起诉，并且法院最终判决欠款人需要还款，那么欠款人就必须按照判决履行还款义务。如果欠款人拒不履行，银行可以申请法院强制执行，包括查封、扣押、拍卖欠款人的财产等。此外，欠款人的信用记录也会受到严重影响，这可能会对其未来的贷款、信用卡申请等产生不利影响。
建议与行动：
- 主动沟通：如果你目前面临信用卡欠款问题，建议主动与银行沟通，说明自己的还款意愿和实际情况，争取与银行达成还款协议，以避免被起诉。
- 积极还款：尽量按照与银行达成的还款协议按时还款，以维护自己的信用记录。
- 寻求法律帮助：如果你对银行的催收行为或起诉行为有异议，或者需要法律帮助来制定还款计划或应对诉讼，可以随时向我咨询，我会根据你的具体情况提供专业的法律建议。
特殊场景：
- 如果欠款人确实无力偿还全部欠款，但愿意分期偿还或部分偿还，可以与银行协商制定还款计划，并尽量按照计划还款。这样不仅可以减轻还款压力，还可以避免被银行起诉。
相关法规：
- 《中华人民共和国民事诉讼法》第一百二十二条：起诉必须符合下列条件：（一）原告是与本案有直接利害关系的公民、法人和其他组织；（二）有明确的被告；（三）有具体的诉讼请求和事实、理由；（四）属于人民法院受理民事诉讼的范围和受诉人民法院管辖。