便利店无证销售假烟属于违法行为，将面临行政处罚，情节严重的可能构成刑事犯罪。具体处理方式如下：

1. 行政处罚层面
   根据《中华人民共和国烟草专卖法》第三十二条及《烟草专卖法实施条例》第五十七条，无烟草专卖零售许可证经营烟草制品零售业务的，由烟草专卖行政主管部门责令停止经营，没收违法所得，并处以违法经营总额20%以上50%以下的罚款。若同时存在销售假烟行为，根据《烟草专卖法实施条例》第六十二条，销售非法生产的烟草专卖品的，由烟草专卖行政主管部门责令停止销售，没收违法所得，处以违法销售总额20%以上50%以下的罚款，并将非法销售的烟草专卖品公开销毁。

2. 刑事犯罪层面
   若便利店销售假烟的金额达到一定标准（通常为5万元以上），可能构成《中华人民共和国刑法》第一百四十条规定的生产、销售伪劣产品罪。根据销售金额不同，可处二年以下有期徒刑或拘役、二至七年有期徒刑、七年以上有期徒刑甚至无期徒刑，并处销售金额50%至二倍罚金。若假烟存在危害人体健康的潜在风险，还可能涉及其他罪名（如以危险方法危害公共安全罪），但需结合具体案情判断。

3. 其他法律后果

• 消费者维权：购买到假烟的消费者可依据《消费者权益保护法》第五十五条要求“退一赔三”，最低赔偿500元；若假烟造成人身损害，还可主张医疗费、误工费等赔偿。
  
• 市场监管联动：烟草专卖部门可能联合市场监管部门对便利店进行查处，若存在其他违法行为（如超范围经营、商标侵权等），可能面临叠加处罚。
  
• 信用惩戒：行政处罚信息会录入企业信用信息公示系统，影响便利店后续经营资质申请、贷款等。

建议：若您发现便利店存在此类行为，可向当地烟草专卖局或市场监管部门举报（拨打12313或12315）；若您是便利店经营者，务必依法办理烟草专卖零售许可证，并从正规渠道进货，避免法律风险。如有进一步疑问，可直接向我咨询具体操作流程或证据固定方法。