在判完刑且十天上诉期未上诉（或上诉被驳回）后申请了监外执行，后续流程主要包括以下几个步骤：

1. 提交申请与材料准备：

   • 罪犯或其法定代理人、近亲属需向执行刑罚的机关（如监狱或看守所）提出书面申请，申请监外执行。
   • 申请时需附上相关证明材料，如罪犯的病历、诊断证明、医疗鉴定意见等，以证明罪犯符合监外执行的条件（如严重疾病需要保外就医、怀孕或正在哺乳自己婴儿的妇女、生活不能自理等）。

2. 执行机关审查与报批：

   • 执行机关在收到申请后，会对申请材料进行审查，核实罪犯是否符合监外执行的条件。
   • 如果认为符合条件，执行机关会撰写提请暂予监外执行意见书，连同相关证明材料一并报请省级以上监狱管理机关或设区的市一级以上公安机关批准。

3. 批准机关审批：

   • 批准机关在收到执行机关的报请材料后，会进行进一步的审查，并可能要求补充材料或进行实地调查。
   • 批准机关会根据罪犯的犯罪情节、悔罪表现、身体状况等因素，综合判断是否批准监外执行。
   • 如果批准，会出具暂予监外执行决定书，并通知执行机关和罪犯本人；如果不批准，会说明理由并退回执行机关。

4. 执行与监督：

   • 一旦获得批准，罪犯就可以在监外执行刑罚。在监外执行期间，罪犯需遵守相关法律法规和监管规定，如定期报告行踪、接受社区矫正等。
   • 执行机关和社区矫正机构会对罪犯进行监督和管理，确保其遵守规定并按时回归监狱或看守所继续执行剩余的刑罚。

5. 可能的情况变化与处理：

   • 如果在监外执行期间，罪犯的病情好转或生活能够自理，或者违反了监管规定，执行机关或社区矫正机构可能会提出收监执行的建议。
   • 批准机关在收到收监执行的建议后，会进行审查并作出决定。如果决定收监执行，会出具收监执行决定书，并通知执行机关和罪犯本人。

特殊情况说明：

• 如果罪犯在监外执行期间死亡，执行机关应当及时通知监狱或看守所，并报请批准机关批准后，办理相关手续并终止监外执行。
• 如果罪犯在监外执行期间又犯新罪或被发现判决宣告前还有其他罪没有判决的，应当撤销监外执行，收监执行后，对新犯的罪或新发现的罪作出判决，并依照相关法律规定进行数罪并罚。

建议：

• 在整个流程中，罪犯或其法定代理人、近亲属应积极配合执行机关和批准机关的工作，提供真实、准确的材料和信息。
• 如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供详细的法律建议和指导。