结论：申请执行人在老赖拘留期突发疾病死亡的情况下，一般无需承担责任，但具体还需根据实际情况和法律规定来综合判断。以下从多个角度进行分析：

1. 申请执行人的基本权利与义务：

   • 申请执行人主要享有的是要求被执行人履行生效法律文书所确定义务的权利。在债务债权纠纷中，这通常意味着要求被执行人偿还债务。
   • 申请执行人并无直接对被执行人进行人身控制或管理的义务，除非法律另有特别规定或执行过程中有特定要求（如协助执行等）。

2. 拘留期间的法律责任：

   • 拘留是司法机关对被执行人采取的一种强制措施，旨在确保其履行法律义务或防止其逃避执行。
   • 在拘留期间，被执行人的健康和安全应由拘留机关负责保障。如果被执行人在拘留期间突发疾病死亡，这通常与拘留机关的管理和保障措施是否到位有关，而与申请执行人无直接关联。

3. 申请执行人可能承担责任的特殊情况：

   • 过错责任：如果申请执行人在执行过程中存在过错，如提供错误信息导致被执行人被错误拘留，或者与拘留机关存在不当勾结等，且这种过错与被执行人的死亡有直接因果关系，那么申请执行人可能需要承担相应的法律责任。但这种情况较为罕见，且需要充分的证据支持。
   • 特殊法律规定：在某些特殊情况下，法律可能规定申请执行人需承担一定的责任。例如，如果申请执行人明知被执行人有严重疾病仍坚持要求拘留，且该疾病与被执行人的死亡有直接关系，那么申请执行人可能需承担一定的道德或法律责任。但这种情况同样需要具体法律条文的支持和具体案情的分析。

4. 实际案例与法律实践：

   • 在实际法律实践中，申请执行人因被执行人在拘留期间死亡而承担责任的情况非常少见。这主要是因为申请执行人与被执行人的死亡之间通常不存在直接的因果关系。
   • 如果被执行人的家属认为申请执行人或拘留机关存在过错，他们通常会通过法律途径（如提起诉讼）来寻求救济。在这种情况下，法院会根据具体案情和法律规定来判决各方是否应承担责任。

建议与后续行动：

• 如果您作为申请执行人遇到此类情况，首先应保持冷静，不要过于担心自己会承担责任。
• 您可以积极配合司法机关的调查工作，提供必要的证据和信息，以证明自己与被执行人的死亡无直接关联。
• 如果被执行人的家属提出异议或提起诉讼，您应及时咨询专业律师（即我，赵正律师，专注于经济纠纷、刑事辩护领域），了解自己的权利和义务，并制定相应的应对策略。

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