在篮球机构上课时手指骨折的赔偿问题，需要结合具体情况来分析，核心结论取决于事故发生的原因、篮球机构的责任以及是否存在第三方侵权等因素。以下分情况详细说明：

1. 如果篮球机构存在过错导致手指骨折
   根据《民法典》第1198条，篮球机构作为经营场所，对学员负有安全保障义务。若因场地设施存在安全隐患（如地面湿滑、器材老化）、教练未尽到指导义务（如未教授正确动作导致受伤）或未及时采取救助措施，导致学员手指骨折，机构需承担侵权责任。赔偿范围通常包括医疗费、护理费、交通费、营养费等合理费用；若构成伤残，还需赔偿残疾赔偿金。

2. 如果篮球机构无过错，属于学员自身原因或意外事件
   若骨折是因学员自身动作不当（如强行抢球、违反规则）、未听从教练指导或意外碰撞导致，且机构已尽到安全保障义务（如场地符合标准、教练资质合格、急救措施到位），则机构无需赔偿。但若机构购买了意外险，学员可通过保险理赔部分费用。

3. 如果存在第三方侵权（如其他学员故意或过失导致受伤）
   根据《民法典》第1165条，直接侵权人需承担赔偿责任。若第三方是未成年人，其监护人需承担民事责任；若机构未尽到管理职责（如未及时制止危险行为），需承担相应补充责任。赔偿范围与第一种情况类似，但需根据双方过错比例划分责任。

建议行动步骤：

1. 立即固定证据：保存医疗记录、现场照片、监控录像、证人联系方式等；
   
2. 与机构协商：要求机构提供事故说明、安全保障措施证明，并协商赔偿方案；
   
3. 委托鉴定：若涉及伤残，需通过司法鉴定确定伤残等级；
   
4. 法律途径：若协商无果，可向法院起诉机构或第三方侵权人，主张赔偿。
   

如有进一步细节（如机构是否签署免责协议、是否购买保险等），可向我补充说明，我会为你分析具体赔偿方案。