结论：下班期间突发心梗，公司是否有责任需根据具体情况判断，主要看是否构成工伤。以下分情况详细说明：

一、构成工伤的情况

根据《工伤保险条例》第十五条的规定，职工在工作时间和工作岗位，突发疾病死亡或者在48小时之内经抢救无效死亡的，视同工伤。这里有几个关键点需要注意：

1. 工作时间和工作岗位：这是构成工伤的基本前提。如果员工是在下班后，且已经离开了工作岗位，那么通常不符合这一条件。但有一种特殊情况，即如果员工在下班后，因工作原因（如加班、处理工作事务等）仍留在工作岗位或工作场所内，并在此期间突发心梗，那么有可能被认定为工伤。
2. 突发疾病死亡或在48小时内经抢救无效死亡：这是构成工伤的另一个重要条件。如果员工突发心梗后，在48小时之内经抢救无效死亡，那么可以被视同工伤。但如果员工经过抢救后存活下来，或者抢救时间超过了48小时，那么通常不被认定为工伤。

举例：假设员工在下班后，因工作需要留在办公室加班，期间突发心梗，并在送往医院后48小时内经抢救无效死亡。这种情况下，员工可以被视同工伤，公司需要承担相应的工伤赔偿责任。

二、不构成工伤的情况

如果员工是在下班后，且已经离开了工作岗位，在非工作场所内突发心梗，并且没有在48小时之内经抢救无效死亡，那么通常不被认定为工伤。在这种情况下，公司一般不需要承担工伤赔偿责任。

举例：员工下班后，在回家的路上突发心梗，并被送往医院救治。由于这种情况不符合“工作时间和工作岗位”以及“突发疾病死亡或在48小时内经抢救无效死亡”的条件，因此通常不被认定为工伤。

三、其他可能的责任

即使不构成工伤，公司也可能在某些情况下承担一定的责任。例如：

1. 如果公司存在过错：如公司的工作环境恶劣、工作强度过大等，导致员工突发心梗，那么公司可能需要承担一定的民事赔偿责任。但这需要员工提供充分的证据来证明公司的过错与突发心梗之间存在因果关系。
2. 如果公司未履行法定义务：如公司未按照法律规定为员工缴纳社会保险费（包括工伤保险），那么在员工发生工伤或类似情况时，公司可能需要承担相应的赔偿责任。

四、建议

1. 及时就医并保留证据：如果员工在下班期间突发心梗，应立即就医并保留好相关的医疗记录和费用单据。这些证据在后续申请工伤认定或提起民事诉讼时非常重要。
2. 咨询专业律师：由于工伤认定和赔偿涉及复杂的法律程序和规定，建议员工或其家属在发生类似情况时及时咨询专业律师，以便更好地维护自己的合法权益。

如果你有进一步的法律问题或需要更详细的法律建议，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况为你提供专业的法律帮助。