新劳动法（这里主要指《中华人民共和国劳动合同法》及相关法律法规）对老员工赋予了多项重要权利，以下是一些核心权利的归纳与解释：

1. 经济补偿权：

   • 解释：根据《劳动合同法》的规定，当劳动合同因特定原因（如用人单位提出并与劳动者协商一致解除、用人单位经济性裁员、用人单位被依法宣告破产等）终止或解除时，老员工有权获得经济补偿。经济补偿的标准通常按照劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
   • 例子：如果一位老员工在某公司工作了10年，月工资为5000元，当劳动合同因公司原因解除时，他有权获得10个月工资（即50000元）的经济补偿。

2. 无固定期限劳动合同签订权：

   • 解释：根据《劳动合同法》第十四条，劳动者在用人单位连续工作满十年的，或者连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。这为老员工提供了更稳定的就业保障。
   • 例子：一位老员工在某公司连续工作了12年，且期间签订了两次固定期限劳动合同，当第二次劳动合同到期时，他有权要求公司与其签订无固定期限劳动合同。

3. 优先续订权：

   • 解释：在劳动合同期满时，如果用人单位维持或提高劳动合同约定条件续订劳动合同，而劳动者不同意续订的情形除外，用人单位应当与劳动者续订劳动合同。对于老员工而言，这在一定程度上保障了他们的工作连续性。虽然法律没有直接规定“优先续订权”，但基于诚信原则和公平原则，用人单位在续订合同时应给予老员工适当的考虑。
   • 实际操作建议：老员工在劳动合同期满前，可以主动与用人单位沟通续订事宜，表达自己的意愿和期望，以争取更有利的续订条件。

4. 特殊保护权：

   • 解释：对于老员工中的特定群体（如女职工、残疾职工等），法律还提供了额外的保护措施。例如，女职工在孕期、产期、哺乳期的，用人单位不得解除劳动合同；残疾职工在劳动合同期限内，除非因严重违反用人单位规章制度、被依法追究刑事责任等法定情形，否则用人单位不得解除劳动合同。
   • 例子：一位老员工是女职工，且处于孕期，即使她的工作表现可能不如以往，用人单位也不得因此解除她的劳动合同。

5. 参与民主管理权：

   • 解释：老员工作为用人单位的资深成员，有权参与用人单位的民主管理，如通过职工代表大会或其他形式参与讨论用人单位的重大决策、规章制度等。这有助于保障老员工的知情权、参与权和监督权。
   • 实际操作建议：老员工可以积极关注用人单位的民主管理活动，主动参与讨论和提出建议，以维护自己的合法权益和用人单位的整体利益。

总结与建议：

新劳动法为老员工提供了多项重要权利，包括经济补偿权、无固定期限劳动合同签订权、优先续订权（基于诚信和公平原则）、特殊保护权以及参与民主管理权等。老员工应充分了解自己的权利，并在必要时积极维护自己的合法权益。如果遇到劳动纠纷或疑问，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供专业的法律建议和帮助。