在处理劳务派遣员工发生工伤的情况时，我们首先要明确的是，劳务派遣关系中涉及三方主体：劳务派遣公司、用工单位和被派遣劳动者。针对您提出的问题，我将从以下几个方面进行详细解答：

一、工伤认定的申请主体

根据《劳动合同法》及相关规定，劳务派遣公司与被派遣劳动者是劳动关系的双方，也是劳动合同的主体。因此，当被派遣劳动者发生工伤时，应由劳务派遣公司到人力资源社会保障工伤认定部门申请工伤认定，并处理相关事宜。用工单位在此过程中应协助工伤认定的调查核实工作。

二、工伤保险责任的承担

1. 原则上由劳务派遣公司承担：劳务派遣公司作为用人单位，应当为被派遣劳动者购买工伤保险，并承担工伤保险责任。这意味着，一旦被派遣劳动者发生工伤，劳务派遣公司需要负责支付工伤医疗费用、伤残津贴等工伤保险待遇。

2. 劳务派遣公司与用工单位的协商：虽然原则上由劳务派遣公司承担工伤保险责任，但劳务派遣公司与用工单位可以在劳务派遣协议中约定补偿办法。例如，双方可以协商由用工单位承担部分或全部工伤保险责任，或者约定在劳务派遣公司承担责任后，用工单位给予一定的补偿。但这样的约定不能对抗被派遣员工的工伤待遇请求权，劳务派遣公司不得因此拒绝被派遣员工工伤保险待遇的请求。

三、未购买工伤保险的处理

如果劳务派遣公司或用工单位未为被派遣劳动者购买工伤保险，那么在发生工伤时，证明劳动关系的存在将是认定工伤的关键环节。如果未签署劳动合同，受伤职工需要准备各项可以证明劳动关系存在的证据，如工作证、工资单、考勤记录等，然后到仲裁委员会先确认劳动关系的存在。确认劳动关系后，再由社保部门认定是否属于工伤，并按照相关规定进行赔偿。

四、无法认定为工伤的处理

如果最终无法认定为工伤，被派遣劳动者可以将劳务派遣公司和用工单位都列为共同被告，起诉到法院要求赔偿。法院将根据双方提供的证据和法律规定，审判并确定赔偿责任和赔偿金额。

五、特殊情况下的处理

在劳务派遣期间，如果被派遣劳动者因工负伤并被确认丧失或者部分丧失劳动能力，根据相关规定，用工单位不得将其退回劳务派遣公司。这意味着，在这种情况下，用工单位需要继续承担用工责任，包括支付工资、提供必要的劳动保护等。

综上所述，当劳务派遣员工发生工伤时，应由劳务派遣公司申请工伤认定并承担工伤保险责任。如果双方有约定补偿办法，劳务派遣公司在承担责任后可以向用工单位追偿。同时，被派遣劳动者应了解自己的权益和维权途径，在必要时寻求法律援助或提起诉讼以维护自己的合法权益。