医疗机构遗失死亡证明存根，可能会面临以下法律后果及影响：

1. 行政责任：

   • 依据与后果：根据《医疗机构管理条例》及相关规定，医疗机构有义务妥善保管患者的医疗文书，包括死亡证明存根。若医疗机构遗失死亡证明存根，可能被视为未履行妥善保管义务，从而面临卫生行政部门的警告、罚款等行政处罚。具体罚款数额会根据违规情节的严重程度以及当地卫生行政部门的规定来确定。

2. 民事责任：

   • 患者家属权益受损：死亡证明存根是患者家属办理后续事宜（如遗产继承、保险理赔等）的重要依据。若医疗机构遗失，可能导致患者家属在办理这些事宜时遇到障碍，甚至遭受经济损失。
   • 赔偿义务：在此情况下，患者家属有权要求医疗机构承担相应的民事赔偿责任，包括但不限于因遗失死亡证明存根而产生的直接经济损失（如重新办理证明的费用、因延误办理而产生的额外费用等）以及可能的间接经济损失（如因无法及时办理遗产继承而产生的利息损失等）。

3. 信誉与形象受损：

   • 公众信任度下降：医疗机构遗失死亡证明存根，可能引发公众对医疗机构管理水平的质疑，进而影响医疗机构的信誉和形象。
   • 患者选择倾向：在医疗市场竞争日益激烈的今天，信誉和形象是医疗机构吸引患者的重要因素。一旦受损，可能导致患者选择其他医疗机构就诊，从而影响医疗机构的业务量和经济效益。

4. 内部管理反思与改进：

   • 制度完善：医疗机构应借此机会反思内部管理制度的不足，加强医疗文书的保管和管理工作，确保类似事件不再发生。
   • 员工培训：加强对医务人员的培训和教育，提高他们对医疗文书重要性的认识，增强责任心和职业操守。

建议与措施：

• 立即采取补救措施：一旦发现死亡证明存根遗失，医疗机构应立即采取补救措施，如联系患者家属说明情况、协助重新办理死亡证明等，以减轻对患者家属的影响。
• 加强内部管理：完善医疗文书的保管和管理制度，明确责任人和保管期限，确保医疗文书的完整性和安全性。
• 提高员工意识：通过培训和教育等方式，提高医务人员对医疗文书重要性的认识，增强他们的责任心和职业操守。

总结：医疗机构遗失死亡证明存根可能面临行政责任、民事责任以及信誉与形象受损等多方面的法律后果。因此，医疗机构应高度重视医疗文书的保管和管理工作，确保患者的权益不受侵害。若您在此方面遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。