结论：能否在离职次月于原单位办理退休，需分情况讨论，主要取决于是否满足退休条件及单位性质与政策要求。具体分析如下：

1. 若已满足法定退休条件（如年龄、社保缴费年限等），且原单位为退休手续办理主体
   根据《社会保险法》第十六条，达到法定退休年龄且累计缴费满15年的，可按月领取基本养老金。若您离职时已满足条件，且原单位属于机关事业单位、国有企业等通常负责退休手续办理的主体，理论上可向原单位申请办理退休。但需注意：

   • 离职时间与退休时间衔接：若离职次月即达到退休年龄，需确认离职手续是否已完成（如社保减员、档案转移等）。若单位已为您办理社保减员，可能需先恢复社保关系或通过新单位/灵活就业身份参保，再办理退休。
     
   • 单位政策限制：部分单位可能规定“离职后不再办理退休手续”，尤其是私营企业或外资企业。此时需与单位协商，或直接向社保经办机构申请办理（如通过档案托管机构或户籍地社保局）。

2. 若未满足法定退休条件（如社保缴费年限不足）
   即使离职，也无法直接办理退休。需继续缴费至满足条件（如延长缴费至15年），再通过新单位、灵活就业身份或档案托管机构申请退休。此时原单位无义务为您办理手续。

3. 特殊情况：公益性岗位的特殊性
   公益性岗位通常由政府开发，用于安置就业困难人员，其社保缴纳、劳动关系管理可能受地方政策影响。部分地区规定，公益性岗位人员离职后，若未及时衔接新工作，可能影响社保连续性，进而影响退休手续办理。建议：

   • 联系当地社保局或人社局，确认公益性岗位人员退休的具体流程；
     
   • 若原单位拒绝办理，可要求其出具书面说明，并保留劳动合同、社保缴费记录等证据，通过劳动仲裁或行政投诉维护权益。

行动建议：

1. 立即核对个人社保缴费记录（可通过“国家社会保险公共服务平台”或当地社保APP查询），确认是否已满足退休条件；
   
2. 联系原单位人事部门，询问退休手续办理要求及离职后的影响；
   
3. 若原单位不配合，直接向当地社保经办机构咨询“离职后如何办理退休”，并提交身份证、户口本、劳动合同、社保缴费证明等材料申请办理。
   

如有其他细节需进一步分析（如离职原因、单位性质、地方政策等），可随时补充说明，我会为您细化解答。