结论：嗣子（通常指过继或收养的儿子，在现代法律语境下可理解为养子或具有特定扶养关系的子女）是否有继承权，需根据具体情况判断，主要包括法定继承、遗嘱继承或遗赠以及特殊情形下的继承权。

1. 法定继承情况：

   • 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条，法定继承的第一顺序为配偶、子女、父母。这里的“子女”包括婚生子女、非婚生子女、养子女和有扶养关系的继子女。因此，如果嗣子被认定为养子女或具有扶养关系的继子女，则享有法定继承权。
   • 若嗣子并未被法律认可为养子女或具有扶养关系的继子女，则通常不直接享有法定继承权。

2. 遗嘱继承或遗赠情况：

   • 如果被继承人（如嗣子的养父母或具有扶养关系的父母）通过合法有效的遗嘱，明确指定嗣子为继承人或受遗赠人，那么嗣子可以依据遗嘱获得相应遗产。
   • 遗嘱继承不受法定继承顺序的限制，体现了被继承人的个人意愿。

3. 特殊情形下的继承权：

   • 代位继承：如果嗣子的养父母或具有扶养关系的父母先于被继承人死亡，且嗣子作为晚辈直系血亲，可能根据《中华人民共和国民法典》第一千一百二十八条的规定，代位继承其养父母或具有扶养关系的父母应继承的遗产份额。但这一情形通常适用于嗣子作为养子女或具有特定扶养关系的子女的情况。
   • 转继承：在极少数情况下，如果嗣子在继承开始后、遗产分割前死亡，其应继承的遗产份额可能转由其继承人继承。但这并非嗣子直接享有继承权，而是其继承权的转移。

法律建议：

• 对于嗣子而言，要确认自己是否享有继承权，首先需明确自己与被继承人之间的法律关系，即是否被认定为养子女或具有扶养关系的继子女。
• 如果被继承人留有遗嘱，嗣子应仔细审查遗嘱内容，确认自己是否被指定为继承人或受遗赠人。
• 在涉及复杂继承问题时，建议嗣子及时咨询专业律师，以准确了解自己的权利和义务，并采取相应的法律措施保护自己的合法权益。

可能法律后果：

• 如果嗣子被认定为养子女或具有扶养关系的继子女，且未被遗嘱排除在继承之外，则有权继承被继承人的遗产。
• 如果嗣子未被法律认可为养子女或具有扶养关系的继子女，且未被遗嘱指定为继承人或受遗赠人，则可能无法直接继承被继承人的遗产。此时，嗣子可通过其他法律途径（如协商、调解或诉讼）寻求解决方案，但需承担相应的法律风险和成本。