结论：父亲被刑事拘留一个月，其儿子能否当兵需根据具体情况判断，但通常情况下，若父亲最终被定罪处罚，儿子在当兵时的政治考核可能会受到影响。

详细分析：

1. 刑事拘留的性质与影响：

   • 刑事拘留是刑事诉讼中的一种强制措施，旨在防止犯罪嫌疑人逃避侦查、起诉和审判，或毁灭、伪造证据、串供等。它并不等同于定罪处罚，只是表明行为人涉嫌犯罪，需要进一步调查。
   • 若父亲在刑事拘留后，最终未被定罪处罚（如因证据不足、情节轻微不构成犯罪等），则这一记录对儿子当兵的政治考核影响较小。

2. 定罪处罚对儿子当兵的影响：

   • 若父亲在刑事拘留后，最终被法院定罪处罚（如判处有期徒刑、拘役等），则这一记录将作为家庭主要成员的刑事犯罪记录，可能影响儿子当兵时的政治考核。
   • 根据《征兵政治审查工作规定》，家庭主要成员有被刑事处罚的情况，儿子在当兵时可能因政治考核不通过而无法应征入伍。这是因为军队需要保持高度的政治觉悟和纪律性，家庭成员的刑事犯罪记录可能会被视为潜在的风险点。

3. 具体影响因素与考量：

   • 犯罪性质与情节：父亲所犯罪行的性质、情节以及社会危害程度，将直接影响对儿子当兵的影响。如父亲所犯为严重刑事犯罪（如故意杀人、强奸、抢劫等），则儿子当兵的政治考核通过难度较大；若所犯为轻微罪行（如交通肇事罪无加重情节、过失犯罪等），且已服刑完毕并表现良好，则影响可能较小。
   • 时间因素：父亲服刑完毕的时间距离儿子当兵的时间长短，也是考量因素之一。如父亲服刑完毕已满一定期限（一般超过5年），且表现良好，无其他违法犯罪行为，则对儿子当兵的影响可能较小。
   • 地区与政策差异：不同地区的征兵政策和具体执行标准可能存在差异。因此，在具体情况下，建议咨询当地征兵机构或相关部门以获取更准确的信息和指导。

4. 建议与行动：

   • 若父亲目前仅处于刑事拘留阶段，尚未被定罪处罚，建议家属积极配合侦查机关的工作，提供有利证据和线索，争取早日查明事实真相，避免不必要的法律后果。
   • 若父亲最终被定罪处罚，且儿子有志于参军，建议儿子在报名前仔细了解相关政策和要求，咨询当地征兵机构或相关部门以获取准确信息和指导。同时，儿子应积极提升自己的综合素质和能力，以增加通过政审和成功参军的机会。

总结：父亲被刑事拘留一个月，其儿子能否当兵需根据具体情况判断。若父亲最终被定罪处罚，儿子在当兵时的政治考核可能会受到影响。但具体影响程度还需结合犯罪性质、情节、时间因素以及地区与政策差异等多方面因素进行综合考量。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。