私立医院的公章并非必须带有“有限公司”字样，这一结论主要基于以下法律和实务角度的分析：

1. 公司法与医疗机构登记管理的规定：

   • 根据《中华人民共和国公司法》及相关规定，公司公章通常需包含公司全称，这通常包括“有限公司”或“股份有限公司”等字样，以明确公司的法律形态。
   • 然而，私立医院作为医疗机构，其设立和运营主要受《医疗机构管理条例》等医疗卫生法规的调整。这些法规并未明确规定私立医院的公章必须包含“有限公司”字样。
   • 私立医院在登记注册时，其名称可能包含“医院”、“诊所”等医疗行业特有的词汇，而不一定包含“有限公司”。因此，其公章的设计也应与登记名称保持一致。

2. 公章的法律效力与识别：

   • 公章的主要功能是代表单位或组织的意志，具有法律效力。无论公章上是否包含“有限公司”字样，只要它是依法制作并备案的，就能产生相应的法律效力。
   • 在实际交易中，对方通常更关注的是公章的真实性和合法性，以及它所代表的单位或组织的信誉和实力，而不是公章上是否包含特定的法律形态字样。

3. 实务操作与建议：

   • 私立医院在制作公章时，应遵循相关法律法规和登记管理机关的要求，确保公章的合法性和有效性。
   • 如果私立医院在登记注册时使用了包含“有限公司”的名称，那么其公章上应包含这一字样以保持一致。但如果其名称中不包含这一字样，则无需强行添加。
   • 为了避免不必要的纠纷和误解，私立医院可以在公章上明确标注其医疗机构类型（如“医院”、“诊所”等），以便对方准确识别。

特殊情况说明：

• 如果私立医院是以公司的形式设立和运营的（即其法律形态为有限责任公司或股份有限公司），并且其名称中包含了“有限公司”字样，那么其公章上应包含这一字样以符合公司法的规定。
• 如果私立医院在运营过程中发生了法律形态的变更（如从个体工商户变更为有限责任公司），那么其公章也应相应地进行变更以符合新的法律形态要求。

总结与建议： 私立医院的公章设计应与其登记名称和法律形态保持一致。如果其名称中不包含“有限公司”字样，则无需在公章上添加。为了确保公章的合法性和有效性，私立医院应遵循相关法律法规和登记管理机关的要求进行制作和备案。如有任何疑问或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。