结论前置：在老人坐公交车上车时摔倒且公交公司被认定为全责的情况下，公交公司应当承担赔偿责任，这通常包括垫付医药费。不过，具体是否必须立即垫付以及垫付的范围和方式，可能还需根据实际情况和双方协商来确定。以下是对此问题的详细分析：

1. 公交公司的赔偿责任：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，承运人（在此为公交公司）应当对运输过程中旅客的伤亡承担赔偿责任，除非伤亡是旅客自身健康原因造成的或者承运人能证明伤亡是旅客故意、重大过失造成的。在本案例中，老人上车时摔倒已被认定为公交公司全责，因此公交公司需承担赔偿责任。

2. 赔偿范围：

   • 赔偿范围通常包括医疗费、误工费、护理费、交通费等多项费用。其中，医疗费是因受伤接受治疗所支出的合理费用，需以医院出具的票据为准。因此，在老人摔倒受伤的情况下，公交公司应当承担其医疗费用，这通常包括垫付医药费。

3. 垫付医药费的具体情况：

   • 虽然公交公司有责任承担医疗费用，但“必须垫付”这一表述可能因实际情况和双方协商而有所差异。在理想情况下，公交公司应主动垫付医药费以体现其责任感和对乘客的关怀。然而，在实际操作中，可能因公司流程、资金状况或双方沟通等原因，导致垫付并非立即进行。
   • 如果公交公司未及时垫付医药费，老人或其家属可以与公交公司协商，要求其尽快垫付。若协商无果，老人或其家属还可以考虑通过法律途径来维护自己的权益，如向交通运输管理部门投诉或向法院提起诉讼。

4. 索赔流程与建议：

   • 及时报警和通知公交公司：事故发生后，应立即报警并向公交公司报备，以便公交公司及时了解情况并采取相应措施。
   • 就医并保留证据：老人应前往医院治疗，并妥善保管相关证据，如病历、医疗费用票据等。这些证据在后续索赔过程中将起到关键作用。
   • 与公交公司协商：治疗结束后，老人或其家属应与公交公司协商赔偿事宜，包括医药费的垫付和赔偿等。
   • 申请调解或提起诉讼：若协商不成，老人或其家属可以请求交通运输管理部门或相关调解机构进行调解；若调解无果，则可以向有管辖权的人民法院提起民事诉讼。

额外建议：在处理此类事故时，建议老人或其家属保持冷静和理性，与公交公司进行友好沟通，并尽可能收集和保留相关证据。同时，也可以考虑咨询专业律师（即我本人，董佳丽律师，专注于离婚、经济纠纷、合同纠纷、劳动纠纷、交通事故、刑事辩护、房产纠纷领域）以获取更具体的法律建议和帮助。

法律依据：

• 《中华人民共和国民法典》第八百二十三条：“承运人应当对运输过程中旅客的伤亡承担赔偿责任；但是，伤亡是旅客自身健康原因造成的或者承运人证明伤亡是旅客故意、重大过失造成的除外。”

综上所述，公交公司在被认定为全责的情况下，应当承担赔偿责任，这通常包括垫付医药费。然而，具体垫付情况可能因实际情况和双方协商而有所差异。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。