面对房租到期房东不退押金且未签合同的情况，您确实会感到有些棘手，但别担心，我们可以通过一系列有序且合法的步骤来维护您的权益。以下是我为您整理的详细建议：

一、尝试与房东友好协商

1. 明确诉求：首先，您需要明确向房东表达退还押金的诉求，并强调尽管没有书面合同，但双方之间存在事实上的租赁关系。
2. 沟通方式：选择面谈、电话或微信等合适的沟通方式，保持诚恳和理性的态度，尝试了解房东拒绝退还押金的具体原因。
3. 共同检查：如果可能，与房东一起对房屋进行实地检查，确认房屋状况是否符合退还押金的条件，如无损坏或已结清所有费用等。

二、积极收集证据

1. 支付凭证：收集所有能证明您已支付押金的凭证，如转账记录（微信、支付宝、银行转账等），并尽量备注“房租押金”。
2. 聊天记录：整理与房东关于租赁事宜的微信、短信对话，特别是涉及押金约定和租赁期限的内容。
3. 通话录音：如果与房东就押金问题有过电话沟通，可以保存通话录音作为证据。
4. 其他证据：如现金收条、房屋使用照片、证人证言等，也能在一定程度上支持您的主张。

三、寻求第三方调解

1. 中介介入：如果您是通过中介租房的，可以请求中介协助调解，利用其信誉和业务关系促成和解。
2. 社区调解：向房屋所在社区的居委会或物业管理处反映问题，利用其提供的调解服务进行沟通协商。
3. 房屋租赁管理部门：您还可以向当地房屋租赁管理部门反映情况，请求其协助调解，这些部门对房屋租赁市场有监管职责。

四、考虑法律途径

1. 了解法规：根据《中华人民共和国民法典》等相关法律法规，租赁关系终止且租客无违约行为时，房东应退还押金。因此，房东无正当理由拒退押金是不合法的。
2. 发送催款函：在决定采取法律手段前，您可以考虑委托律师向房东发送催款函，明确指出退还押金的法律依据和合理期限，并告知其不退还押金可能面临的法律后果。
3. 提起诉讼：如果协商和调解均无果，您可以向房屋所在地的基层人民法院提起民事诉讼。准备起诉状和相关证据材料，按照法院要求办理立案手续，并参与庭审。胜诉后，您可以申请强制执行以保障自己的权益。

五、注意事项

1. 保持冷静：在整个过程中，请保持冷静和理性，避免与房东发生争执，以免影响问题解决。
2. 保留证据：妥善保管所有与租房相关的证据和文件，确保在需要时能够迅速提供。
3. 了解流程：熟悉当地的法律法规和租房政策，以及法律诉讼的基本流程，这有助于您更好地维护自己的权益。

综上所述，面对房租到期房东不退押金且未签合同的情况，您应首先尝试与房东协商，并积极收集证据以支持自己的主张。若协商无果，可寻求第三方调解或采取法律手段维护权益。在整个过程中，保持冷静、理性，并充分了解相关法律法规是至关重要的。希望这些建议能对您有所帮助。