在执行过程中，双方私下达成和解协议，该协议在符合法律规定的情况下是具有法律效力的。以下从多个角度为你详细分析：
一、和解协议的法律效力基础
意思自治原则：
- 双方当事人在执行过程中，基于自愿、平等、公平的原则，可以就执行事项进行协商，并达成和解协议。这种协商和达成协议的过程，体现了民事法律关系中的意思自治原则。
合同法的适用：
- 和解协议本质上是一种合同，因此受到《中华人民共和国民法典》中合同编的调整。只要和解协议的内容不违反法律、行政法规的强制性规定，不违背公序良俗，且双方当事人具有相应的民事行为能力，该协议就具有法律效力。
二、和解协议对执行程序的影响
中止执行：
- 根据相关法律规定，在执行过程中，双方当事人自行达成和解协议的，执行员应当将协议内容记入笔录，由双方当事人签名或者盖章。如果一方当事人不履行和解协议的，人民法院可以根据对方当事人的申请，恢复对原生效法律文书的执行。这意味着，在和解协议履行期间，执行程序通常会中止。
终结执行（特定情况下）：
- 如果和解协议已经履行完毕，或者双方当事人达成和解协议后，被执行人按照和解协议履行了部分义务，且申请人同意的，执行程序可能会终结。但需要注意的是，这种终结是附条件的，即如果被执行人不履行或者不完全履行和解协议，申请人可以申请恢复执行。
三、和解协议的法律效力保障
协议内容的合法性：
- 和解协议的内容必须合法，不能违反法律、行政法规的强制性规定，也不能违背公序良俗。如果协议内容违法或者违背公序良俗，该协议将被认定为无效。
协议履行的监督：
- 虽然和解协议是双方当事人自行达成的，但执行法院仍然会对协议的履行情况进行监督。如果一方当事人不履行或者不完全履行和解协议，另一方当事人可以向执行法院申请恢复执行。
违约责任的承担：
- 如果和解协议中约定了违约责任，且一方当事人不履行或者不完全履行协议，另一方当事人可以依据协议约定要求违约方承担违约责任。这种违约责任可以是继续履行、赔偿损失等。
四、实际操作中的注意事项
书面形式：
- 为了确保和解协议的法律效力，建议双方当事人将协议内容以书面形式固定下来，并由双方当事人签字或者盖章确认。
协议内容的明确性：
- 和解协议的内容应当明确、具体，包括履行期限、履行方式、违约责任等条款。这样可以避免在履行过程中产生争议。
及时申请恢复执行：
- 如果一方当事人不履行或者不完全履行和解协议，另一方当事人应当及时向执行法院申请恢复执行。否则，可能会因为超过申请执行期限而丧失申请恢复执行的权利。
举例说明：假设在执行一起借款合同纠纷案件中，双方当事人自行达成了和解协议，约定被执行人在一定期限内偿还部分借款，并分期偿还剩余借款。如果被执行人按照和解协议履行了义务，那么执行程序可能会终结；如果被执行人未按照和解协议履行义务，那么申请人可以向执行法院申请恢复执行原生效法律文书。
总结与建议：在执行过程中，双方私下达成和解协议是具有法律效力的，但需要注意协议内容的合法性、明确性以及及时申请恢复执行等事项。如果你在执行过程中遇到了相关问题或者需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。