要证明妻子对丈夫背着其贷款投资的行为不知情，可以从以下几个方面入手收集和提供证据：

1. 日常沟通记录：

   • 保留与丈夫之间关于家庭财务、投资等话题的聊天记录、短信或邮件。如果这些记录中丈夫从未提及此次贷款投资，或者明确表示过不会进行此类高风险投资，这可以作为妻子不知情的初步证据。
   • 特别注意查找是否有丈夫隐瞒或误导妻子的言论，比如“你不用操心这些”、“我自有分寸”等可能暗示隐瞒的表述。

2. 家庭财务状况证明：

   • 提供家庭日常开支、储蓄、投资等财务记录，显示妻子对家庭财务的常规管理情况。如果妻子一直负责家庭日常开支，而丈夫的投资行为并未影响家庭正常财务，且妻子对此一无所知，这可以支持妻子不知情的主张。
   • 如果可能，提供银行流水、账户明细等，证明妻子没有参与或知晓该笔贷款的申请、使用或还款过程。

3. 证人证言：

   • 寻找能够证明妻子对丈夫贷款投资行为不知情的第三方证人，如共同的朋友、亲戚或邻居。他们可能听到过丈夫向妻子隐瞒投资计划的对话，或者观察到妻子在投资发生期间对此一无所知的表现。
   • 证人证言应当具体、详细，并尽可能提供时间、地点、对话内容等关键信息，以增强其证明力。

4. 丈夫的陈述或承认：

   • 如果丈夫在某种情况下承认了妻子对其贷款投资行为不知情，比如在与第三方的对话中、在书面材料中或在调解、仲裁过程中，这些陈述或承认可以作为直接证据。
   • 需要注意的是，丈夫的陈述可能因各种原因而变化，因此应尽可能获取其书面或录音证据，以确保其真实性和稳定性。

5. 其他相关证据：

   • 根据具体情况，还可以收集其他与案件相关的证据，如投资项目的合同、协议、宣传资料等，以证明妻子没有参与或知晓该投资项目。
   • 如果丈夫的投资行为涉及违法或违规操作，相关监管部门的调查报告或处罚决定也可以作为证明妻子不知情的辅助证据。

在收集证据的过程中，妻子应当注意以下几点：

• 确保证据的合法性和真实性，避免使用非法手段获取证据或伪造证据。
• 尽可能全面地收集证据，以形成完整的证据链，提高证明力。
• 如果可能，咨询专业律师的意见，以获取更具体、更专业的指导。