在我国，司法机关主要包括人民法院和人民检察院，它们各自拥有明确的职权范围，共同维护法律的正确实施和社会公平正义。以下是关于司法机关主要权利的详细阐述：
一、人民法院的职权
人民法院作为国家的审判机关，其核心职权是审判权，这一权力涵盖刑事、民事、行政等多个领域，具体包括：
刑事审判权：
- 对刑事案件进行审理和裁判，决定被告人的罪责与刑罚。例如，对于一起故意伤害案，法院将根据事实和法律，判断被告人是否构成犯罪，以及应判处何种刑罚。
- 确保刑法得到正确应用，维护社会秩序和公共安全。
民事审判权：
- 处理平等主体间的财产和人身关系纠纷，如合同纠纷、侵权纠纷等。例如，在一起房屋买卖合同纠纷中，法院将根据合同条款和法律规定，判断双方的权利义务，并作出公正裁决。
- 保护当事人的合法权益，促进经济社会的和谐发展。
行政审判权：
- 审查行政机关的具体行政行为，监督其依法行使职权。例如，对于一起行政处罚案件，法院将审查行政机关的处罚决定是否合法、合理，以及是否侵犯了当事人的合法权益。
- 保护公民、法人和其他组织的合法权益，促进行政机关依法行政。
执行权：
- 负责执行已生效的法律文书，包括民事判决、裁定以及刑事判决中的财产部分。例如，对于一起民事赔偿案件，法院将确保赔偿款项得到及时、足额的执行。
- 确保法律判决得以履行，维护法律的权威性和公信力。
司法解释权：
- 最高人民法院对法律适用问题进行解释，统一法律适用标准。例如，对于一起涉及新类型案件的法律适用问题，最高人民法院将给出明确的解释和指导。
- 指导各级法院的审判工作，提高审判质量和效率。
二、人民检察院的职权
人民检察院作为国家的法律监督机关，其主要职权包括：
法律监督权：
- 对公安机关的立案、侦查活动进行监督，确保其合法性。例如，对于一起涉嫌贪污的案件，人民检察院将监督公安机关的立案和侦查过程，确保没有违法行为发生。
- 对人民法院的审判活动进行监督，对确有错误的判决、裁定提出抗诉。例如，对于一起判决不公的民事案件，人民检察院将依法提出抗诉，要求法院重新审理。
- 对刑罚执行和监狱、看守所等执行机关的活动进行监督，防止违法行为的发生。
公诉权：
- 代表国家对犯罪嫌疑人提起公诉，将刑事案件移送法院审判。例如，对于一起涉嫌故意杀人的案件，人民检察院将依法提起公诉，要求法院对犯罪嫌疑人进行审判。
- 确保犯罪得到应有的法律制裁，维护社会秩序和公共安全。
职务犯罪侦查权：
- 对由国家工作人员利用职权实施的贪污贿赂、渎职等职务犯罪进行立案侦查。例如，对于一起涉嫌贪污的公职人员案件，人民检察院将依法进行立案侦查，收集证据，查明事实真相。
- 维护国家利益和公共利益，打击腐败行为。
公益诉讼权：
- 针对损害国家利益和社会公共利益的行为，依法提起公益诉讼。例如，对于一起环境污染案件，人民检察院将依法提起公益诉讼，要求污染者承担法律责任，保护环境公共利益。
- 保护社会公共利益不受侵害，促进社会的和谐稳定。
总结与建议：
司法机关的权利是维护社会公平正义、保障公民合法权益的重要基石。人民法院通过行使审判权，确保法律的正确实施和裁决的公正性；人民检察院则通过行使法律监督权、公诉权等，追诉犯罪、维护国家安全和社会秩序。作为公民，我们应当了解并尊重司法机关的职权，积极配合司法机关的工作，共同维护社会的和谐稳定。如果您在司法机关职权方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。