当公司开除员工时，根据《中华人民共和国劳动法》及相关法律法规，赔偿方式和标准确实会因开除的原因和具体情况而有所不同。以下是对这一问题的详细解答：
一、合法解除劳动合同的赔偿情况
协商一致解除劳动合同：
- 若用人单位与劳动者协商一致解除劳动合同，并且双方约定了经济补偿，那么就按照约定来执行。如果没有特别约定，通常不需要额外赔偿，但会涉及工资结算、社保转移等事宜。
过失性辞退（无需支付赔偿金）：
- 如果劳动者存在严重过错，比如试用期不符合录用条件、严重违反公司规章制度、失职造成重大损失、被追究刑事责任等情形，根据《劳动合同法》第三十九条，用人单位可以单方解除合同且无需支付赔偿金。但这里需要注意的是，用人单位必须确保相关制度合法有效，并且有充分的证据来支持其辞退决定。
无过失性辞退的经济补偿：
- 如果用人单位因客观原因需要裁员或终止合同，比如劳动者患病或非因工负伤医疗期满后不能从事原工作，或者劳动者不能胜任工作经过培训或调整岗位后仍不能胜任等情形，根据《劳动合同法》第四十条，用人单位应提前30日书面通知劳动者，并支付经济补偿金。经济补偿金的标准是每满一年支付一个月工资，不满半年按半个月计算，超过半年不足一年按一年计算。这里的月工资指的是劳动者离职前12个月的平均工资，包括基本工资、奖金、津贴等货币性收入。
经济性裁员的特殊规定：
- 在企业破产重整、经营困难等情况下进行裁员，除了支付经济补偿外，用人单位还需要履行法定程序，比如向工会说明情况、听取意见、报告劳动行政部门等。同时，应优先留用特定人员，比如与本单位订立较长期限的固定期限劳动合同的、与本单位订立无固定期限劳动合同的，以及家庭无其他就业人员且有需要扶养的老人或者未成年人的劳动者。
劳动合同终止的经济补偿：
- 如果劳动合同期满未续签，或者企业解散等情形下终止劳动关系，同样适用上述经济补偿标准。
二、违法解除劳动合同的赔偿情况
- 如果用人单位违反法律规定解除劳动合同，那么需要承担双倍赔偿责任。即按照经济补偿标准的两倍向劳动者支付赔偿金，同时还需要继续履行合同义务或采取补救措施。
三、特殊情况下的赔偿处理
未提前通知的代通知金：
- 如果用人单位未依法提前30日通知解除合同，那么需要额外支付一个月工资作为代通知金。这个费用与经济补偿金是可以同时主张的。
未支付经济补偿的法律后果：
- 如果用人单位逾期未支付经济补偿，劳动部门可以责令其限期支付。如果逾期仍不支付，那么需要按应付金额的50%-100%加付赔偿金。
竞业限制补偿的特殊规则：
- 如果解除合同后要求劳动者遵守竞业限制协议，那么用人单位需要按月支付不低于离职前12个月平均工资30%且不低于当地最低工资的补偿金。
四、注意事项与建议
- 程序合法性：公司在辞退员工时，必须严格遵循法定程序，包括提前书面通知、通知工会等。否则，可能会构成违法解除劳动合同，需要承担双倍赔偿责任。
- 个税处理：经济补偿金在当地职工平均工资三倍以内的部分是免税的，超出部分则需要按个人所得税规定缴纳。
- 争议解决：如果双方对补偿金额有异议，可以通过劳动仲裁机构申请仲裁或提起诉讼来解决争议。
综上所述，公司开除员工的赔偿问题是一个复杂且需要细致处理的问题。用人单位应严格遵守法律规定，确保辞退行为的合法性；同时，劳动者也应了解自己的权益，留存好相关证据以维护自身合法权益。