可以要求保险公司和肇事司机垫付三期鉴定费用，但能否获得支持需分情况讨论，具体分析如下：

1. 保险公司垫付的可能性
   根据《机动车交通事故责任强制保险条例》第三十一条规定，保险公司可在责任范围内垫付抢救费用。但三期鉴定（误工期、护理期、营养期）属于事故后续治疗及康复的合理费用，若您能证明经济困难且鉴定费用与事故直接相关（如医院出具的建议书），可尝试要求保险公司在交强险医疗费用限额内垫付。但实践中，保险公司可能以“鉴定非抢救费用”为由拒绝，此时需通过诉讼或协商解决。

2. 肇事司机垫付的法律依据
   根据《民法典》第一千二百一十三条，肇事司机作为侵权方，需承担事故全部赔偿责任，包括合理鉴定费用。若您经济困难，可直接要求司机垫付，并保留相关凭证（如书面承诺、转账记录）。若司机拒绝，可在后续诉讼中主张其承担鉴定费及诉讼费。

3. 实务建议

   • 证据收集：保存医院诊断证明、鉴定建议书、经济困难证明（如低保证明、村委会/居委会证明）等材料，证明鉴定的必要性和自身经济状况。
     
   • 协商优先：先与保险公司、司机协商，明确垫付金额及方式，并签订书面协议。
     
   • 诉讼保障：若协商无果，可在起诉时将鉴定费列入诉讼请求，法院会根据事故责任划分判决承担比例。
     

提示：三期鉴定需由有资质的机构出具报告，费用标准因地区而异（通常800-3000元）。若您经济困难，可向当地法律援助中心申请帮助，或联系我进一步分析案件细节。