结论：机关单位退休人员被判处有期徒刑以上刑罚，刑罚执行完毕后一般不能申请续发养老金，但符合特定条件时可申请恢复发放基本养老金。以下是具体分析：

1. 基本原则：服刑期间停发养老金
   根据《关于退休人员被判刑后有关养老保险待遇问题的复函》（劳社厅函〔2001〕44号）及《社会保险法》相关规定，退休人员被判处拘役、有期徒刑及以上刑罚的，服刑期间停发基本养老金。服刑结束后，养老金不会自动恢复，需主动申请。

2. 刑罚执行完毕后的处理方式

   • 一般情况：不予续发
     若退休人员被判处有期徒刑以上刑罚（如有期徒刑、无期徒刑），且未涉及缓刑或监外执行，刑罚执行完毕后，其基本养老金通常不予续发。这是因为刑罚已对其社会评价和权益产生实质性影响，社保部门会依据规定终止待遇。
   • 例外情形：可申请恢复
     若退休人员被判处缓刑（如有期徒刑三年，缓刑四年），缓刑期间可继续领取基本养老金，但缓刑考验期满后，需根据表现决定是否恢复原待遇；若服刑期间表现良好（如立功、减刑），出狱后可能符合特殊恢复条件（如部分地区规定“服刑期间未造成重大社会危害”），可向社保部门提交申请，经审核后恢复部分或全部养老金。

3. 申请恢复的流程与材料

   • 流程：刑罚执行完毕后，需携带刑事判决书、释放证明书、身份证、社保卡等材料，向原参保地社保经办机构提交书面申请。
     
   • 审核重点：社保部门会核查服刑期间是否违规领取养老金、是否存在其他违法行为（如诈骗社保资金），以及是否符合当地恢复发放的政策细则。
     
   • 结果告知：审核通过后，养老金从申请次月起恢复发放；若不符合条件，会书面说明理由。

4. 补充说明：职业年金与补充养老金
   若退休人员原单位设有职业年金或企业年金等补充养老保险，服刑期间职业年金账户通常暂停计息，但出狱后可根据单位规定申请继续缴纳或提取；企业年金则需按合同约定处理，部分单位可能因服刑终止待遇。

建议：若您或家人涉及此类情况，可携带相关材料至当地社保局现场咨询，或直接向我提问，我会结合具体案情和地方政策进一步分析。