结论：教师打了学生一下没有受伤，私下签协议和解在一般情况下是具有法律效力的，但需满足一定条件，且存在一些特殊情况可能导致协议无效或可撤销。以下从多个角度进行详细分析：

一、协议有效的基本条件

1. 双方自愿：协议必须是双方在平等、自愿的基础上签订的，不存在欺诈、胁迫等情形。如果教师或学生（或其法定代理人）是在被强迫或误导的情况下签订协议，那么该协议可能因缺乏自愿性而无效。

2. 内容合法：协议的内容必须合法，不得违反法律、行政法规的强制性规定，也不得违背公序良俗。在本案例中，协议内容应围绕教师对学生的轻微体罚行为及其后果进行约定，不得包含违法或不合理的内容。

3. 不损害第三方利益：协议的签订和履行不得损害国家、集体或第三人的利益。如果协议内容涉及对第三方权益的侵害，那么该协议可能因损害第三方利益而无效。

二、特殊情况下的协议效力

1. 学生为无民事行为能力人或限制民事行为能力人：

   • 如果学生是无民事行为能力人（如未满8周岁的儿童），那么其签订的协议通常需要由其法定代理人（如父母）代为签订或追认才有效。
   • 如果学生是限制民事行为能力人（如8周岁以上但未满18周岁的未成年人），那么其签订的协议可能因其年龄和智力状况而受到限制。在这种情况下，如果协议内容与其年龄、智力状况相适应，且得到了其法定代理人的同意或追认，则协议有效；否则，协议可能无效或可撤销。

2. 协议内容显失公平：

   • 如果协议内容明显偏向一方，导致双方权利义务严重失衡，那么该协议可能因显失公平而被撤销。例如，如果协议中规定教师只需支付极少的赔偿金，而学生则需放弃所有追究教师责任的权利，这样的协议可能因显失公平而无效。

3. 教师存在重大过错或违法行为：

   • 如果教师的体罚行为构成违法或犯罪（即使未造成实际伤害），那么私下签订的和解协议可能无法完全免除教师的法律责任。在这种情况下，学生或其法定代理人仍有权向相关部门投诉或提起诉讼，要求教师承担相应的法律责任。

三、法律建议

1. 谨慎签订协议：在签订私下和解协议前，双方应充分了解协议的内容和后果，确保协议是自愿、合法且公平的。如果可能的话，可以咨询专业律师的意见，以确保协议的合法性和有效性。

2. 保留证据：无论是否签订私下和解协议，双方都应保留好相关证据（如监控录像、证人证言等），以备不时之需。这些证据在后续可能发生的纠纷中可能起到关键作用。

3. 及时寻求法律帮助：如果双方对协议内容或法律效力存在争议，或者协议签订后出现了新的情况（如学生出现后续伤害等），应及时寻求法律帮助，通过合法途径解决纠纷。

总结来说，教师打了学生一下没有受伤，私下签协议和解在一般情况下是具有法律效力的，但需满足双方自愿、内容合法且不损害第三方利益等条件。同时，也存在一些特殊情况可能导致协议无效或可撤销。因此，在签订私下和解协议前，双方应谨慎考虑并咨询专业律师的意见。如果你有任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。