刑事案件撤案的决定部门因案件性质和诉讼阶段的不同而有所差异。以下是对这一问题的详细解答：

1. 自诉刑事案件：

   • 决定权归属：自诉人。
   • 具体说明：在自诉案件中，自诉人享有对自身诉讼利益的自主处分权。这意味着，在宣告判决前，自诉人有权自行决定是否与被告人和解或撤回自诉。若自诉人选择撤回自诉，案件将因此终结。

2. 公诉案件：

   • 侦查阶段：
     • 决定权归属：公安机关。
     • 撤案情形：包括没有犯罪事实、情节显著轻微不认为是犯罪、犯罪已过追诉时效期限、经特赦令免除刑罚、犯罪嫌疑人死亡等法定情形。
     • 程序要求：公安机关在决定撤案前，需经过一系列内部审查和审批程序，最终由县级以上公安机关负责人批准后方可正式撤案。同时，检察机关对公安机关的侦查活动有监督权，可要求纠正不当撤案决定。
   • 审查起诉阶段：
     • 申请权归属：检察机关。
     • 决定权归属：虽然检察机关有权提出撤案申请，但最终是否撤案的决定权在法院（针对是否起诉的审查）。不过，在此阶段，若检察机关认为案件不符合起诉条件，可作出不起诉决定，其效果类似于撤案。
     • 特别说明：受害人可就刑事附带民事部分接受调解，但这不影响公诉案件的继续进行。若检察机关认为应撤案而公安机关未撤，检察机关可通过法律手段要求纠正。
   • 审理阶段：
     • 决定权归属：法院。
     • 撤案情形：与侦查阶段相似，包括情节显著轻微不认为是犯罪、犯罪已过追诉时效期限等法定情形。
     • 处理结果：法院在审理过程中，若发现存在上述法定撤案情形，应撤销案件、不起诉、终止审理或宣告无罪。

撤案后的处理：

• 无论案件处于哪个阶段，一旦决定撤案，相关机关需立即解除对犯罪嫌疑人采取的强制措施（如拘留、逮捕等）。
• 同时，需及时退还扣押的财物；若无法退还或造成损害的，应给予相应赔偿或补偿。
• 此外，还需整理案卷材料，归档保存，以确保案件处理的完整性和规范性。

总结与建议： 刑事案件撤案是一个涉及多个法律主体、严格法定情形和程序要求的复杂过程。在实际操作中，各机关应密切协作、相互监督，确保撤案决定的合法性与合理性。若您或您身边的人遇到刑事案件撤案相关的问题，可以直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供专业的法律建议和帮助。