若交通事故法院调解书对方不按期支付赔偿，申请强制执行应向第一审人民法院或者与第一审人民法院同级的被执行的财产所在地人民法院提出。以下是对此问题的详细分析：

法律依据

根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，发生法律效力的民事判决、裁定，以及刑事判决、裁定中的财产部分，由第一审人民法院或者与第一审人民法院同级的被执行的财产所在地人民法院执行。在交通事故赔偿案件中，法院调解书具有法律效力，若对方不按期支付赔偿，即构成违约，另一方有权向法院申请强制执行。

执行法院的选择

1. 第一审人民法院：通常，交通事故赔偿案件的调解书是由第一审人民法院作出的。因此，在对方不履行调解书义务时，申请执行人可以直接向第一审人民法院申请强制执行。
2. 与第一审人民法院同级的被执行的财产所在地人民法院：如果被执行人的财产不在第一审人民法院所在地，或者为了更方便地执行被执行人的财产，申请执行人也可以选择向与第一审人民法院同级的被执行的财产所在地人民法院申请强制执行。

申请强制执行的流程

1. 准备申请材料：包括强制执行申请书、生效的法律文书（即法院调解书）、申请执行人的身份证明等。
2. 提交申请：将准备好的申请材料提交给选定的执行法院。
3. 法院审查：执行法院会对申请材料进行审查，确认其是否符合强制执行的条件。
4. 执行措施：如果法院认为符合强制执行的条件，会采取相应的执行措施，如查封、扣押、拍卖被执行人的财产等，以强制被执行人履行义务。

注意事项

1. 及时申请：在对方不履行调解书义务后，申请执行人应及时向法院申请强制执行，以免超过申请执行的时效期限。
2. 提供准确信息：在申请强制执行时，申请执行人应提供被执行人的准确信息和财产线索，以便法院能够更有效地执行。
3. 配合法院执行：在执行过程中，申请执行人应积极配合法院的工作，提供必要的协助和支持。

建议：若遇到交通事故法院调解书对方不按期支付赔偿的情况，建议及时咨询专业律师，了解具体的申请强制执行流程和注意事项，以确保自己的合法权益得到有效维护。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。