针对您提出的“社区给私自抱养的孩子上户口开居住证明是否承担法律责任”的问题，这确实是一个涉及法律与程序的重要问题。以下是我根据相关法律法规和政策，为您提供的详细解答：

首先，我们需要明确的是，私自抱养孩子是不合法的行为。根据相关法律法规，任何单位和公民一旦发现、捡拾弃婴，应当立即向当地公安部门报案，并协助公安部门做好报案登记。任何单位和个人都无权将捡拾的弃婴转送他人或私自抱养。因此，社区或任何个人为私自抱养的孩子提供居住证明或协助上户口，都可能涉及违法行为。

接下来，我们分析社区在此类情况下的法律责任：

1. 如果社区明知是私自抱养的孩子，仍为其提供居住证明或协助上户口：

   • 这可能构成对非法收养行为的协助或纵容，社区及相关责任人员可能需要承担相应的法律责任。
   • 根据相关法律法规，为收养关系当事人出具虚假证明材料的组织或个人，可能会受到行政处分、纪律处分，甚至可能面临法律追究。

2. 如果社区在不知情的情况下提供了居住证明：

   • 一般情况下，社区可能不需要承担直接的法律责任，但一旦发现情况不实，应立即撤销相关证明，并积极配合相关部门进行调查。

此外，对于私自抱养的孩子上户口的问题，正确的做法应该是：

• 通过合法途径收养：如果确实希望收养孩子，应该通过合法的收养程序，如向当地社会福利机构申请，经过评估、审批等程序后，依法办理收养登记和户口登记。
• 配合相关部门工作：在收养过程中，应积极配合公安、民政等部门的工作，提供真实、准确的材料和信息。

综上所述，社区给私自抱养的孩子上户口开居住证明是可能承担法律责任的，特别是当社区明知或应知是非法收养行为时。因此，我建议您或任何相关人员，务必遵守法律法规，通过合法途径收养孩子，并积极配合相关部门的工作。如果您有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时咨询当地公安、民政等部门或专业律师。