被看守所刑事拘留后，您确实有权向看守所提出要求请律师，并且强烈建议您尽快聘请律师介入。以下是对这一问题的详细解答：

一、刑事拘留的性质与您的权利

刑事拘留是公安机关在侦查过程中，对现行犯或重大嫌疑分子采取的一种临时剥夺人身自由的强制措施。根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，自您被侦查机关第一次讯问或者采取强制措施之日起，您就有权委托辩护人，这包括聘请律师。

二、聘请律师的必要性及具体作用

1. 提供法律咨询与解释：

   • 律师作为专业法律人士，能够为您详细解释所涉及的罪名、相关法律规定、诉讼程序以及可能的量刑范围。这有助于您清晰了解自己的处境和权利义务，从而做出更为明智的决策。

2. 会见您并提供心理支持：

   • 律师有权会见被拘留的您，通过面对面的交流，深入了解案件情况，同时为您提供心理上的安慰和支持，帮助您缓解焦虑和无助感，保持良好的心态应对案件。

3. 协助申诉与控告：

   • 如果您在拘留期间认为自己的合法权益受到了侵犯，如超期羁押、刑讯逼供等，律师可以协助您向有关部门提出申诉或控告，监督办案机关的行为，确保法律程序的公正性。

4. 申请变更强制措施：

   • 律师可以根据案件情况和您的具体情况，为您申请取保候审等变更强制措施。通过全面了解案件并评估您的社会危险性，律师能够有力地提出取保候审的申请，争取让您在相对自由的环境中等待案件的处理。

5. 收集证据与调查：

   • 律师具备专业的调查取证能力，能够积极寻找对您有利的证据，如证人证言、监控视频等。这些关键证据可能对案件的走向起到决定性作用，为您的辩护提供有力支持。

6. 制定并执行辩护策略：

   • 在审判阶段，律师将根据案件事实和证据，为您制定合适的辩护策略。他们会对公诉机关指控的罪名和证据进行深入分析和质证，提出合理的辩护观点，努力为您争取最好的判决结果。

三、不聘请律师的风险

虽然您在某些情况下可能考虑不聘请律师，但这往往伴随着较大的风险。缺乏专业法律知识可能导致您对案件性质和后果判断失误；无法有效维护自身权益可能使您在面对侵权行为时束手无策；错过辩护机会则可能影响案件的最终判决结果。

四、建议与总结

综上所述，被看守所刑事拘留后聘请律师是极为必要的。律师的专业知识和经验能够为您提供全方位的法律支持和帮助，确保您的合法权益得到充分保障。因此，我建议您在面临此类情况时，应优先考虑聘请律师进行协助。同时，选择律师时，应注重其专业背景、口碑评价和沟通能力，以确保能够获得高质量的法律服务。