结论：商家只同意按月退款而不同意退还未消费的钱这一做法，通常是不合理的，您有权要求退还未消费部分的款项。以下从不同角度为您详细分析：
法律角度
合同关系与违约责任：
- 您与美容院之间形成了服务合同关系，您支付年卡费用，美容院提供相应期限的美容服务。
- 若美容院未能按照合同约定提供服务，或您因合理原因（如美容院服务质量问题、个人健康原因等）要求解除合同，美容院应承担违约责任，退还您未消费部分的款项。
消费者权益保护：
- 根据《中华人民共和国消费者权益保护法》的相关规定，消费者在购买商品或接受服务时，享有公平交易的权利。
- 美容院拒绝退还未消费的钱，可能构成对消费者公平交易权的侵害，您有权向相关部门投诉或寻求法律救济。
实际操作角度
与商家协商：
- 您可以再次与美容院沟通，明确表达您的诉求，即要求退还未消费部分的款项。
- 在协商过程中，您可以引用上述法律规定，增强自己的说服力。
收集证据：
- 保留好您与美容院签订的合同、付款凭证、消费记录等证据，以备不时之需。
- 这些证据将有助于您在后续维权过程中证明自己的权益。
寻求第三方帮助：
- 若协商无果，您可以向当地的消费者协会、市场监管部门等机构投诉，寻求他们的帮助和调解。
- 这些机构通常具有调解消费纠纷的职能，能够为您提供一定的支持和帮助。
法律途径：
- 若上述途径均无法解决问题，您可以考虑通过法律途径维护自己的权益。
- 您可以向法院提起诉讼，要求美容院退还未消费部分的款项，并承担相应的违约责任。
特殊情况考虑
- 合同条款：如果合同中有明确约定退款方式或条件，且该条款不违反法律法规的强制性规定，那么双方应按照合同约定执行。但即便如此，如果合同条款显失公平或存在欺诈、胁迫等情形，您仍有权要求撤销或变更合同。
- 商家经营状况：如果美容院因经营不善等原因面临倒闭或破产，您的退款请求可能会受到一定影响。在这种情况下，您可能需要尽快采取行动，通过法律途径维护自己的权益。
建议：我建议您先与美容院进行友好协商，明确表达您的诉求和理由。如果协商无果，您可以考虑向相关部门投诉或寻求法律帮助。在整个过程中，请务必保留好相关证据，以便在需要时证明自己的权益。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。