结论：在您被猫咬且对方被认定为责任方但拒绝理赔，即便您找律师打官司打赢了，律师费一般也是由您自行承担，不过存在一些特殊情况可能使对方承担部分或全部律师费。以下为您详细分析：

常规情况：律师费自行承担

在一般的民事侵权纠纷案件中，律师费通常被视为当事人为了维护自身权益而自行支出的费用，不属于侵权行为直接造成的必然损失。根据“谁委托、谁付费”的原则，您聘请律师为自己打官司，就需要按照与律师事务所签订的委托合同支付相应的律师费。例如，您与律师约定律师费为5000元，在您胜诉后，这5000元律师费原则上还是需要您自己来支付。

特殊情况：对方承担律师费

1. 双方事先有约定：如果在被猫咬事件发生之前或者之后，您与对方就侵权赔偿事宜达成了书面协议，其中明确约定如果发生纠纷，胜诉方的律师费由败诉方承担。那么在这种情况下，您打官司打赢了，对方就需要按照协议约定支付您的律师费。比如，您和对方签订了一份和解协议，里面写明“若因本次猫咬事件引发诉讼，胜诉方的律师费由败诉方承担”，当您胜诉后，就可以依据该协议要求对方支付律师费。
2. 法律有特别规定：在某些特定的法律关系或案件类型中，法律明确规定律师费可以由败诉方承担。不过在动物侵权纠纷领域，目前并没有普遍适用的法律规定要求败诉方承担胜诉方的律师费。但在一些知识产权侵权、人格权侵权等案件中，可能会有相关规定。虽然动物侵权不直接适用这些规定，但如果您的案件存在一些特殊情形，引发了相关法律条款的适用，也有可能让对方承担律师费。例如，如果对方除了猫咬您的侵权行为外，还存在其他恶意侵权、侮辱等行为，导致案件性质变得复杂，可能适用一些特殊法律规定，从而让对方承担律师费。
3. 对方恶意诉讼：如果对方在被认定责任后，明知自己应该承担赔偿责任，却故意提起一些没有事实和法律依据的诉讼或者反诉，以此来拖延时间、增加您的诉讼成本。在这种情况下，法院可能会根据具体情节，判决对方承担您因此而额外支出的律师费。比如，对方在被认定责任后，又无端提起反诉，声称您存在过错，但没有任何证据支持，经过法院审理后认定其反诉不成立，此时法院可能会考虑让对方承担您为应对反诉而支出的部分律师费。

建议

1. 收集证据：在处理此类纠纷时，要尽可能收集和保留与被猫咬事件相关的各种证据，如现场照片、证人证言、报警记录、医疗记录等，这些证据不仅有助于证明对方的侵权责任，也可能在后续讨论律师费承担问题时起到一定的辅助作用。
2. 与对方协商：在打官司之前，您可以尝试与对方再次进行协商，明确告知对方其应承担的赔偿责任以及您为处理此事所付出的成本，包括可能产生的律师费。通过友好协商，看是否能够达成一个双方都能接受的赔偿方案，避免进入漫长的诉讼程序。
3. 咨询律师：如果您决定通过法律途径解决纠纷，在聘请律师之前，要详细咨询律师关于律师费的具体收费标准、支付方式以及在本案中是否有让对方承担律师费的可能性等问题。律师可以根据您的具体情况，为您提供专业的法律建议和诉讼策略。

如果您还有其他关于动物侵权纠纷或其他法律方面的问题，都可以直接向我咨询。