结论前置：行政处罚决定履行催告书的下达时间通常是在行政处罚决定书送达当事人后，且当事人在规定的履行期限内未履行义务，同时未提出行政复议或行政诉讼的情况下。具体来说，催告书一般会在行政处罚决定所确定的履行期限届满后，行政机关申请法院强制执行前的合理时间内下达，这个合理时间通常会给当事人留出一定的催告期（一般为10日）以履行义务。
详细分析
催告书下达的前提条件
行政处罚决定书已送达：催告书的下达必须以行政处罚决定书已经送达当事人为前提。只有当事人收到了行政处罚决定书，并知道了其应履行的义务和期限，催告才有意义。
当事人未履行义务：在行政处罚决定书规定的履行期限内，如果当事人未履行义务，如未缴纳罚款、未停止违法行为等，行政机关才有必要下达催告书。
未提出行政复议或行政诉讼：如果当事人在法定期限内提出了行政复议或行政诉讼，那么行政处罚的效力将处于待定状态，此时行政机关一般不会下达催告书，而是等待复议或诉讼的结果。
催告书下达的具体时间
履行期限届满后：催告书通常会在行政处罚决定书所确定的履行期限届满后下达。这是为了给当事人足够的时间来履行义务，避免因为时间过短而导致当事人无法及时履行。
申请法院强制执行前：在当事人未履行义务且未提出行政复议或行政诉讼的情况下，行政机关在申请法院强制执行前，必须下达催告书。这是法律规定的程序要求，旨在保障当事人的合法权益，给予其最后的履行机会。
催告期的设定：催告书送达当事人后，通常会给予当事人一个合理的催告期（一般为10日）以履行义务。这个催告期的设定是为了确保当事人有足够的时间来准备和履行义务，同时也体现了法律的公平和合理。
特殊情况下的催告书下达时间
延期或分期缴纳罚款：如果当事人因经济困难确需延期或分期缴纳罚款，并经行政机关批准，那么催告书的下达时间会相应顺延至延期或分期缴纳期限届满之后。这是法律对当事人经济困难情况的一种人文关怀和灵活性处理。
紧急情况的行政处罚：对于某些涉及公共安全、环境保护等紧急情况的行政处罚，相关法规可能规定了较短的催告时间。在这种情况下，行政机关需按照特别规定的时间发出催告，以确保及时制止违法行为并保护公共利益。
法律依据与程序要求
《中华人民共和国行政强制法》第三十五条：明确规定行政机关在作出强制执行决定前，应当事先以书面形式催告当事人履行义务，并载明履行义务的期限、方式以及当事人享有的陈述权和申辩权。
《中华人民共和国行政强制法》第五十四条：进一步规定，行政机关申请人民法院强制执行前，应当催告当事人履行义务。催告书送达十日后当事人仍未履行义务的，行政机关可以向所在地有管辖权的人民法院申请强制执行；执行对象是不动产的，向不动产所在地有管辖权的人民法院申请强制执行。
实际操作与注意事项
严格遵守法律程序：行政机关在下达催告书时，必须严格遵守法律规定的程序和时限要求，确保催告书的合法性和有效性。
保障当事人合法权益：在催告过程中，行政机关应充分保障当事人的陈述权和申辩权，确保当事人的合法权益不受侵害。
及时咨询与应对：如果当事人对催告书有异议或需要进一步的法律帮助，应及时向我咨询，以便及时应对和解决问题。
综上所述，行政处罚决定履行催告书的下达时间是一个涉及多个因素和法律规定的复杂问题。在实际操作中，行政机关应严格按照相关法律法规的规定执行催告程序，以确保行政执法的合法性和有效性。如果当事人有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。