结论：在员工生病治疗期间，公司一般不能随意开除员工，但存在特定情形下可以解除劳动合同，并需依法支付经济补偿或遵循相应程序。
详细分析：
医疗期内不得解除劳动合同：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条的规定，当劳动者患病或者非因工负伤，且在规定的医疗期内时，用人单位不得依据该法第四十条（无过失性辞退）和第四十一条（经济性裁员）的规定解除劳动合同。医疗期是指企业职工因患病或非因工负伤停止工作治病休息，且在此期间内不得被解除劳动合同的时限。医疗期的具体长度根据职工实际参加工作年限和在本单位工作年限来确定，范围从3个月到24个月不等。
- 举例：假设员工A在公司工作了5年，实际工作年限为8年，根据规定，A的医疗期为6个月。在这6个月内，公司不得随意开除A。
- 违法后果：如果公司在员工医疗期内违法解除劳动合同，员工有权要求公司继续履行劳动合同。若员工不要求继续履行或劳动合同已无法继续履行，公司应当依照经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。赔偿金的计算方式为：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
医疗期满后可能解除劳动合同的情形：
- 不能从事原工作或另行安排的工作：若员工医疗期满后，不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作，公司需提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，方可解除劳动合同。同时，公司应支付经济补偿金。
- 举例：员工B医疗期满后，由于身体原因无法继续从事原来的工作，公司也无法为其安排其他合适的工作。此时，公司可以提前三十日书面通知B或额外支付一个月工资后解除劳动合同，并支付经济补偿金。
- 经济补偿金计算：根据员工在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
员工存在过错情形下可解除劳动合同：
- 如果员工在生病期间存在严重违反用人单位规章制度、严重失职、营私舞弊，给用人单位造成重大损害等《劳动合同法》第三十九条所规定的过错情形，即使处于医疗期内，公司也有权解除劳动合同，并且无需支付经济补偿。
- 举例：员工C在生病期间，利用病假时间在外兼职，严重影响了本职工作，给公司造成了重大损失。此时，公司可以依据《劳动合同法》第三十九条的规定解除与C的劳动合同，且无需支付经济补偿。
法律保障与维权途径：
- 公司在处理员工生病期间的问题时，必须严格遵守相关法律法规，确保员工的合法权益得到充分保障。如果公司有任何不当行为，如违法解除劳动合同等，员工可以向劳动仲裁委员会提起仲裁申请，或者向法院提起诉讼，以维护自己的合法权益。
建议：
- 对于员工而言，在生病期间应了解自己的医疗期时长，并保留好相关医疗证明，以便在需要时维护自己的权益。
- 对于公司而言，在处理员工生病期间的问题时，应谨慎评估员工的病情和医疗期，确保合法合规地管理员工关系，避免不必要的法律风险和经济损失。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。