当监外执行人员在执行期间又被起诉时，其处理方式确实需要根据起诉的具体原因来细致区分。以下是对这一问题的详细解答：
一、因新罪或漏罪被起诉
情形描述：
在监外执行期间，如果发现罪犯在之前的判决宣告前还有其他未被判决的罪行（即漏罪），或者在此期间又犯下了新的罪行，那么就会面临因新罪或漏罪被起诉的情况。
处理方式及法律依据：
- 收监：一旦发现新罪或漏罪，司法机关会首先决定将罪犯收监，送交监狱或看守所执行。
- 审理与判决：法院会对新罪或漏罪进行审理，并根据事实、证据和情节等因素作出判决。
- 数罪并罚：如果新罪或漏罪成立，根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，将与前罪未执行的刑罚实行数罪并罚，合并计算执行刑罚。
特殊提醒：
在此过程中，罪犯应积极配合司法机关的调查与处理，同时聘请律师进行辩护，以维护自身合法权益。
二、因违反监外执行监督管理规定被起诉
情形描述：
监外执行人员如果违反了相关的监督管理规定，如未经批准离开所居住的市、县，或者拒不报告行踪等，但这些行为尚不构成新的犯罪，就可能因此被起诉（实际上更多是面临行政处罚或监管措施的调整，但严重违规可能触发收监程序）。
处理方式及法律依据：
- 撤销监外执行：根据《中华人民共和国刑事诉讼法》和《社区矫正法》的相关规定，如果监外执行人员严重违反监管规定，可能会被撤销监外执行，收监执行剩余刑期。
- 决定与执行：这一决定通常由人民法院作出，并将相关法律文书送达执行机关执行。
建议：
监外执行人员应严格遵守监管规定，避免任何违规行为，以免面临收监的风险。
三、因民事纠纷被起诉
情形描述：
监外执行人员作为民事主体，可能因合同纠纷、侵权纠纷等民事纠纷被起诉。
处理方式及法律依据：
- 积极应诉：监外执行人员应按照《中华人民共和国民事诉讼法》的规定，积极准备证据材料，按时参加庭审或委托诉讼代理人参加。
- 承担民事责任：如果败诉，监外执行人员需要按照判决承担相应的民事责任，如赔偿损失等。
- 不影响监外执行状态：民事纠纷的处理通常不会影响监外执行的状态，但如果监外执行人员有能力执行而拒不执行民事判决、裁定，情节严重的，可能构成拒不执行判决、裁定罪，依据《中华人民共和国刑法》的相关规定进行处理。
提醒：
监外执行人员在处理民事纠纷时，应保持诚信和合作态度，积极履行民事义务，避免因此引发更严重的法律后果。
总结与建议
监外执行期间被起诉是一个复杂的法律问题，涉及多个法律知识点和不同的处理流程。因此，我建议监外执行人员：
- 保持冷静：面对新的指控或纠纷，保持冷静和理智，不要恐慌或逃避。
- 积极配合：积极配合司法机关的调查与处理，如实提供相关情况。
- 聘请律师：了解起诉的具体原因和指控内容后，及时聘请律师进行辩护，准备相关证据材料。
- 主动报告：向执行机关报告被起诉的情况，以便执行机关采取相应的管理措施。
- 遵守法律：在监外执行期间，严格遵守所有法律规定和社区矫正机构的监督管理要求。
通过以上措施，监外执行人员可以更好地应对被起诉的情况，维护自身合法权益，并避免因此引发更严重的法律后果。