结论：在私人借款不还的情况下，债权人能否起诉担保人并要求其还款，主要取决于担保的类型（一般保证或连带责任保证）、担保期限以及保证合同的有效性。若满足相应条件，债权人可以依法起诉担保人。
详细分析：
担保类型的影响：
- 一般保证：在一般保证中，保证人享有先诉抗辩权。这意味着债权人需先对债务人提起诉讼，并经过强制执行程序，若债务人的财产仍不足以清偿债务，债权人才可起诉一般保证人要求其承担保证责任。但存在例外情况，如债务人下落不明、无财产可供执行，或已受理破产案件等，此时债权人可直接起诉保证人。
- 连带责任保证：在连带责任保证中，保证人与债务人对债务承担连带责任。当债务人未履行到期债务时，债权人既可选择起诉债务人，也可直接起诉连带责任保证人，甚至可将债务人和保证人列为共同被告一并起诉。
担保期限的限制：
- 债权人必须在担保期限内起诉担保人，否则担保人可能免除保证责任。担保期限是确定保证人承担责任的期限，不发生中止、中断和延长。
- 若债权人与担保人约定了担保期间，则债权人需在约定的担保期间内提起诉讼。若未约定或约定不明确，则一般保证和连带责任保证的担保期间均为主债务履行期限届满之日起六个月。
保证合同的有效性：
- 保证合同的有效性是债权人起诉担保人的前提。若保证合同存在无效情形，如主合同无效、保证人不具备民事行为能力、受到欺诈或胁迫等，则债权人可能无法依据保证合同要求担保人承担责任。但在某些情况下，担保人可能因其过错而承担相应的民事责任。
综合建议：
- 明确担保类型：债权人应首先审查借款合同和担保合同，明确担保的类型是一般保证还是连带责任保证。
- 注意担保期限：债权人需确保在担保期限内提起诉讼，以免担保人免除保证责任。
- 收集证据：在实际操作中，建议债权人及时收集借条、担保合同、转账记录等相关证据，以证明借款事实和担保关系的存在。
- 采取行动：若满足起诉条件，债权人可依法向法院提起诉讼，要求担保人承担保证责任。
举例说明：
假设甲向乙借款10万元，丙作为连带责任保证人在借款合同上签字。借款到期后，甲未还款。此时，乙可直接起诉丙要求还款，无需先对甲进行追索。若丙拒绝还款，乙可依法申请强制执行丙的财产。
再假设甲向乙借款10万元，丁作为一般保证人在借款合同上签字。借款到期后，甲未还款。乙需先对甲提起诉讼，并经过强制执行程序。若甲的财产不足以清偿债务，乙方可起诉丁要求其承担保证责任。
后续思考：
在处理此类纠纷时，债权人应仔细审查借款合同和担保合同中的相关条款，确保自己的权益得到充分保障。同时，债权人应了解担保类型和担保期限的重要性，并在必要时寻求专业法律支持。若您在此类问题上还有疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。