结论：事业单位劳务派遣员工想和单位直签，一般需要先与原劳务派遣单位解除劳动关系，然后向目标事业单位表达直签意愿，具体找谁沟通需根据事业单位内部管理流程确定，通常可先咨询人事部门。
详细分析
- 法律关系层面
- 劳务派遣关系中，存在三方主体，即劳务派遣单位、被派遣劳动者（也就是您）和用工单位（事业单位）。您与劳务派遣单位签订劳动合同，被派遣至事业单位工作。
- 若您想与事业单位直接签订劳动合同，从法律程序上，首先要和原劳务派遣单位解除劳动合同关系。根据《劳动合同法》相关规定，劳动者提前三十日以书面形式通知用人单位，可以解除劳动合同。在试用期内提前三日通知用人单位，也可以解除劳动合同。解除劳动合同后，您就与原劳务派遣单位不存在劳动关系了。
- 与事业单位沟通层面
- 确定沟通对象：在您与原劳务派遣单位解除劳动关系后，就可以向事业单位表达想要直签的意愿。一般来说，事业单位的人事部门负责人员招聘、劳动合同签订等人事管理工作，所以您可以先咨询人事部门，了解直签的具体流程和要求。不过，不同事业单位内部管理流程可能存在差异，有些单位可能还有其他部门参与人员管理相关工作，您也可以通过向单位内部员工打听等方式，确定最合适的沟通对象。
- 满足直签条件：事业单位同意与您直签，需要满足一定条件。一方面，事业单位要有用人需求和编制空缺。因为事业单位的人员编制通常是有严格限制的，只有在有相应编制且有用人需求的情况下，才可能考虑与您直签。另一方面，您自身要符合事业单位的招聘条件和岗位要求，包括学历、专业、工作经验、技能水平等方面。例如，如果事业单位招聘的是专业技术岗位，您需要具备相应的专业技术资格证书和实际工作能力。
后续行动建议
- 与原劳务派遣单位协商解除合同：在解除劳动合同过程中，要注意按照法律规定和合同约定进行操作。与原劳务派遣单位友好协商，明确解除合同的时间、经济补偿（如果有）等事项，并签订书面解除协议，避免后续产生纠纷。
- 积极准备与事业单位沟通：在与事业单位沟通直签事宜前，要充分了解该单位的招聘政策、岗位要求等信息，准备好个人简历、相关证书等材料，突出自己的优势和与岗位的匹配度，提高直签的成功率。
- 关注法律风险：在整个过程中，要注意保护自己的合法权益。如果与原劳务派遣单位或事业单位在解除合同、直签等问题上产生争议，要及时收集相关证据，如劳动合同、工资支付记录、工作证明等，通过合法途径维护自己的权益，例如申请劳动仲裁等。
如果您在处理这些问题过程中遇到任何法律疑问，都可以直接向我咨询，我会为您提供专业的法律建议。