结论：当交通事故中对方全责且私了后对方不赔偿时，您可以通过收集证据、与对方及保险公司沟通、申请交警部门调解以及必要时向法院提起诉讼等综合策略来维护自己的合法权益。
一、全面收集证据
首先，确保您已经收集了所有必要的证据，这是后续处理的基础。这些证据包括但不限于：
- 事故现场照片和视频：记录事故发生的具体场景和车辆位置，有助于还原事故经过。
- 目击者证言：获取目击者的联系方式和陈述，以便后续核实事故情况。
- 对方信息和车辆信息：包括对方的姓名、联系方式、车牌号等，这是后续联系和追责的关键。
- 交通事故责任认定书：由交警部门出具，明确责任划分，是维权的重要依据。如果私了时没有交警出具的责任认定书，也应尽量收集其他能证明对方全责的证据，如私了协议中对方承认全责的条款、现场目击者的证言等。
- 私了协议：如果双方有签订私了协议，应妥善保管，这是证明对方曾承诺赔偿的重要文件。
- 损失证明：包括医疗费用单据、修车发票、误工证明等，用于证明您因事故遭受的实际损失。
二、与对方及保险公司沟通协商
- 联系对方：尝试通过电话、短信或微信等方式与对方取得联系，冷静理性地告知其应承担的责任和义务，并提醒其积极配合处理事故和赔偿事宜。保留好沟通记录，以备后续使用。
- 联系对方保险公司：如果对方购买了保险，直接向其保险公司提供事故相关信息和损失证明，要求按照保险合同进行理赔。同时，您也可以联系自己的保险公司，报告事故情况并提交相关证据，以便自己的保险公司能够协助处理或提供必要的支持，如启动代位追偿程序。
三、申请交警部门调解
若与对方协商无果，您可以向负责处理该交通事故的交警部门提出书面调解申请。在申请中详细说明事故情况、责任认定情况及赔偿诉求，并参与交警部门组织的调解过程。如果双方能达成一致意见，将签订调解协议书，对方需按协议履行赔偿义务。调解期间，您应积极配合交警部门的工作，提供必要的证据和信息。
四、法律途径维权
如果对方仍然拒绝承担责任，您可以考虑通过法律途径来维护自己的权益：
准备诉讼材料：
- 起诉状：详细写明原告（您自己）和被告（对方）的基本信息，陈述事故发生经过、责任认定情况及具体诉讼请求，如要求对方赔偿医疗费、修车费、误工费等。
- 证据材料：包括交通事故责任认定书（或能证明对方全责的其他证据）、私了协议、医院诊断证明、病历、医疗费发票、误工证明、车辆维修发票等损失证明材料。
立案与庭审：将诉讼材料提交到有管辖权的法院立案庭，并参加后续的庭审过程。在庭审中，您需要按照法律程序进行陈述、举证、质证等，以证明自己的主张和诉求。
执行判决：如果法院判决对方承担赔偿责任而对方不履行，您可以在判决生效后向法院申请强制执行。法院将依法查询并执行债务人名下的财产，包括房产、车辆、证券和存款等。若债务人仍不履行，将面临信用记录受损、被限制高消费及出入境、甚至司法拘留等严重后果。
五、保持冷静与理性
在整个过程中，保持冷静和理性至关重要。避免情绪化的表达或过激行为，通过合法、合理的途径来解决问题。这样不仅能够更好地保护自己的权益，还能够避免不必要的麻烦和纠纷。
六、特别提醒
- 如果私了协议中没有明确赔偿金额和支付方式等关键条款，或者对方在私了后反悔并否认私了协议的有效性，您可能需要通过法律途径来确认私了协议的效力或重新确定赔偿金额。
- 在处理交通事故赔偿事宜时，务必注意保留好所有相关证据和文件，以便在需要时提供证明。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。