结论前置：在民事诉讼法中，当事人申请再审的理由主要包括有新的证据、原判决或裁定认定的基本事实缺乏证据证明、主要证据是伪造的或未经质证、适用法律错误、审判组织不合法或应回避未回避等多种情形。以下是对这些再审理由的详细阐述：
有新的证据，足以推翻原判决、裁定的：
- 新证据是指原审庭审结束后新发现的证据，或者因客观原因在原审程序中无法提供，但足以推翻原判决、裁定的证据。这些证据一旦提出，将对原判决、裁定的基础事实认定产生根本性影响。例如，在一起合同纠纷中，原审时一方当事人未能提供关键交易记录，再审时提供了该记录，且该记录足以证明合同的实际履行情况与原审判决不符，即可作为新证据申请再审。
原判决、裁定认定的基本事实缺乏证据证明的：
- 基本事实是对原判决、裁定结果有实质影响的事实。若这些关键事实在原审中缺乏足够的证据支持，则判决、裁定可能存在错误。例如，在一起侵权责任纠纷中，原审法院认定被告存在过错，但缺乏直接证据支持，再审时若能提供新的证据证明被告无过错，即可申请再审。
原判决、裁定认定事实的主要证据是伪造的或未经质证的：
- 伪造的证据不具有真实性和合法性，基于此类证据作出的判决、裁定必然是错误的。质证是查明证据真实性、关联性和合法性的重要程序，主要证据未经质证，则不能作为认定案件事实的依据。例如，在一起民间借贷纠纷中，原审时一方当事人提供了伪造的借条作为证据，再审时若能证明该借条是伪造的，即可申请再审。
原判决、裁定适用法律确有错误的：
- 这包括适用的法律与案件性质明显不符、确定民事责任明显违背法律规定、适用已经失效或尚未施行的法律等情形。例如，在一起知识产权纠纷中，原审法院错误地适用了与案件性质不符的法律条款，导致判决结果不公，再审时即可申请纠正。
审判组织的组成不合法或者依法应当回避的审判人员没有回避的：
- 审判组织的组成必须符合法律规定，依法应当回避的审判人员未回避的，可能影响案件公正审判。例如，在一起刑事案件中，原审法院的审判长与案件当事人存在利害关系，但未依法回避，再审时即可申请纠正。
无诉讼行为能力人未经法定代理人代为诉讼或者应当参加诉讼的当事人，因不能归责于本人或者其诉讼代理人的事由，未参加诉讼的：
- 无诉讼行为能力人需由法定代理人代为诉讼，若未经代理或应参加诉讼的当事人因不可归责于本人及其诉讼代理人的原因未能参加诉讼，可作为再审事由。例如，在一起涉及未成年人权益的案件中，原审时未成年人的法定代理人未参与诉讼，再审时即可申请纠正。
违反法律规定，剥夺当事人辩论权利的：
- 辩论权是当事人的重要权利，若法院限制当事人的辩论时间或不允许发表辩论意见，导致辩论权利被剥夺，当事人可以申请再审。例如，在一起民事纠纷中，原审法院在庭审中未给予当事人充分的辩论机会，再审时即可申请纠正。
未经传票传唤，缺席判决的：
- 未经传票传唤即对当事人作出缺席判决，违反法定程序，当事人有权申请再审。例如，在一起合同纠纷中，原审法院在未依法传唤被告的情况下作出了缺席判决，再审时被告即可申请纠正。
原判决、裁定遗漏或者超出诉讼请求的：
- 法院判决、裁定应基于当事人的诉讼请求，若遗漏部分请求或超出请求范围裁判，都属于违反法定程序，当事人可申请再审。例如，在一起侵权责任纠纷中，原审法院遗漏了原告的部分诉讼请求，再审时原告即可申请纠正。
据以作出原判决、裁定的法律文书被撤销或者变更的：
- 原判决、裁定依据的法律文书若被撤销或变更，则建立在该文书基础上的判决、裁定也可能存在错误，当事人可申请再审。例如，在一起行政诉讼中，原审法院依据的行政决定被撤销，再审时当事人即可申请纠正。
审判人员审理该案件时有贪污受贿，徇私舞弊，枉法裁判行为的：
- 审判人员在审理案件过程中存在贪污受贿、徇私舞弊、枉法裁判等行为的，当事人有权申请再审。例如，在一起刑事案件中，原审法院的审判人员存在受贿行为，导致判决结果不公，再审时即可申请纠正。
针对调解书申请再审的特殊事由：
调解违反自愿原则：
- 调解应遵循自愿原则，若存在强迫、欺诈等违背当事人真实意愿的情况，当事人可以申请再审。例如，在一起民事纠纷中，原审法院在调解过程中存在强迫行为，导致调解协议违背了当事人的真实意愿，再审时即可申请纠正。
调解协议内容违法：
- 调解协议的内容不得违反法律的强制性规定和禁止性规定，不得损害国家利益、社会公共利益和他人合法权益，否则当事人可以申请再审。例如，在一起涉及公共利益的案件中，原审法院的调解协议内容违反了相关法律法规的规定，再审时即可申请纠正。
注意事项：当事人在申请再审时，必须明确提出符合上述规定的再审事由，并提供相应的证据材料来支持其主张。同时，也应当在法律规定的期限内提出再审申请，以避免丧失再审的机会。若你对再审程序或具体事由有进一步疑问，可以直接向我咨询，我会为你提供更详细的法律解答。