当事人确实可以在不服劳动人事仲裁的情况下提出不予执行申请，但需符合法定条件。以下是对这一问题的详细分析：
一、申请不予执行的条件
根据《中华人民共和国民事诉讼法》及《劳动争议调解仲裁法》等相关法律规定，当事人申请不予执行劳动仲裁裁决，需满足以下条件之一：
仲裁裁决适用法律、法规确有错误：
- 这意味着仲裁庭在裁决时错误地引用了法律、法规，导致裁决结果可能不公正。例如，在计算经济补偿金时，错误地适用了不同年限对应的补偿标准。
劳动争议仲裁委员会无管辖权：
- 仲裁委员会必须在其法定管辖范围内受理案件。如果受理了不属于其管辖的案件，所作裁决可被申请不予执行。例如，劳动合同履行地和用人单位所在地均不在该仲裁委员会辖区内，但仲裁委员会仍受理了案件。
违反法定程序：
- 劳动仲裁必须遵循严格的法定程序。任何违反程序的行为，如仲裁庭组成不合法、仲裁员未回避、未按规定送达法律文书等，都可能影响裁决的公正性。
裁决所根据的证据是伪造的：
- 证据是裁决的基础。如果裁决基于伪造证据，其公正性将受到质疑。例如，员工伪造加班记录作为证据，仲裁庭据此裁决支付加班费。
对方当事人隐瞒了足以影响公正裁决的证据：
- 双方都有如实提供证据的义务。如果一方隐瞒关键证据，导致裁决不公，另一方有权申请不予执行。例如，员工隐瞒已从其他渠道获得赔偿的证据，仲裁庭作出对其有利的裁决。
仲裁员在仲裁该案时有索贿受贿、徇私舞弊、枉法裁决行为：
- 仲裁员应公正廉洁。如果存在索贿、徇私、枉法等行为，将严重影响裁决的公正性。例如，仲裁员接受贿赂后偏袒一方当事人，作出不公正裁决。
裁决违背社会公共利益：
- 如果裁决内容与社会公共利益相悖，也可成为申请不予执行的理由。例如，仲裁裁决要求用人单位从事严重污染环境的生产活动。
二、申请不予执行的流程
提出申请：
- 当事人应在执行通知书送达之日起十五日内，向人民法院书面提出不予执行的申请。
审查核实：
- 人民法院将组成合议庭对申请进行审查核实。如果裁决确实存在上述情形之一，人民法院将裁定不予执行。
后续措施：
- 仲裁裁决被人民法院裁定不予执行的，当事人可根据双方达成的书面仲裁协议重新申请仲裁，或直接向人民法院起诉。
三、建议与注意事项
仔细研究相关法律法规：
- 在提出申请前，当事人应仔细研究相关法律法规，确保申请的合理性和有效性。
保留好相关证据和文件：
- 当事人应保留好与仲裁相关的所有证据和文件，以便在必要时提供证明。
及时咨询专业律师：
- 虽然我在这里为你提供了详细的解答，但每个案件的具体情况都有所不同。如果你在申请不予执行过程中遇到任何问题或困惑，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供有针对性的法律建议。
综上所述，申请不予执行劳动仲裁裁决是一项严肃的法律行为，需要当事人充分了解相关法律法规和程序规定。通过准确识别和应用法定情形，当事人可以有效维护自己的合法权益。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。