结论：在工厂定制订单中，客户已通过公账支付定金但随后违约想要退定金的情况下，定金是否退还主要取决于合同的具体约定以及违约的性质和程度。以下从不同角度进行分析：

1. 合同约定：

   • 定金条款：首先，需要审查合同中关于定金的条款。如果合同明确规定了定金的性质（如作为合同履行的担保）、退还条件以及违约时的处理方式，那么应严格按照合同约定执行。
   • 违约责任：合同中可能还规定了违约方应承担的责任，包括是否赔偿损失、是否没收定金等。如果客户违约，且合同中有明确规定违约时定金不予退还，那么工厂有权依据合同拒绝退还定金。

2. 违约性质与程度：

   • 轻微违约：如果客户的违约行为较为轻微，且未对工厂造成实质性损失，工厂可以考虑与客户协商，部分或全部退还定金，以维护良好的客户关系。
   • 严重违约：如果客户的违约行为严重，导致工厂遭受重大损失，工厂不仅有权拒绝退还定金，还可以根据合同约定或法律规定要求客户赔偿损失。

3. 法律规定：

   • 定金罚则：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，定金具有担保合同履行的功能。如果给付定金的一方（即客户）不履行约定的债务的，，无权要求返还定金；收受定金的一方（即工厂）不履行约定的债务的，，应当双倍返还定金。但这一规定的前提是合同中没有相反约定。
   • 公平原则：在处理定金退还问题时，还应考虑公平原则。如果合同中的定金条款显失公平，或者违约情况并非完全由客户造成，法院或仲裁机构可能会根据实际情况调整定金的退还比例。

4. 实际操作建议：

   • 协商解决：在发生违约情况时，工厂应首先与客户进行协商，尝试达成和解协议，以减少诉讼成本和时间。
   • 法律途径：如果协商无果，工厂可以根据合同约定或法律规定，通过法律途径（如诉讼或仲裁）来维护自己的权益。

示例：假设合同中明确规定：“客户支付定金后，如因客户原因导致合同无法履行，定金不予退还。”在此情况下，如果客户违约，工厂有权依据合同拒绝退还定金。但如果合同中没有此类明确规定，或者违约情况并非完全由客户造成，工厂则应考虑与客户协商退还部分或全部定金。

进一步思考：在处理此类问题时，工厂应充分了解合同条款和法律规定，以便在维护自身权益的同时，也考虑到客户的合理诉求和公平原则。如有任何疑问或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。