结论：开茶馆被抓且手机被扣一个月是否合法，需根据具体情况判断，主要涉及公安机关的执法权限和程序合法性。以下从多个角度详细分析：

1. 公安机关扣押手机的法律依据

根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百四十一条规定，在侦查活动中发现的可用以证明犯罪嫌疑人有罪或者无罪的各种财物、文件，应当查封、扣押；与案件无关的财物、文件，不得查封、扣押。
关键点：

• 若手机被认定为与案件相关的证据（如涉及赌博、贩毒、诈骗等违法犯罪活动），公安机关有权依法扣押。
  
• 若手机与案件无关，公安机关无权扣押，否则属于违法行为。

2. 扣押期限的合法性

根据《公安机关办理刑事案件程序规定》第二百二十八条，对查封、扣押的财物、文件，应当会同在场见证人和被查封、扣押财物、文件持有人查点清楚，当场开列清单一式二份，由侦查人员、见证人和持有人签名或者盖章，一份交给持有人，另一份附卷备查。
关键点：

• 扣押期限通常与侦查期限相关，但法律未明确规定具体时长。实践中，扣押期限应合理，且需在案件终结后及时返还。
  
• 若手机被扣押一个月，需核实是否因案件复杂需要延长侦查期限，或是否存在超期扣押的情形。
  
• 若公安机关未依法出具扣押清单，或未说明扣押理由，或超期扣押未返还，则属于违法行为。

3. 开茶馆被抓的可能原因

开茶馆本身不违法，但若涉及以下行为，可能触犯法律：

• 赌博：若茶馆内提供赌博场所或工具，可能涉嫌赌博罪（《刑法》第三百零三条）。
  
• 卖淫嫖娼：若茶馆内存在色情服务，可能涉嫌组织卖淫罪（《刑法》第三百五十八条）。
  
• 贩毒：若茶馆内进行毒品交易，可能涉嫌贩卖毒品罪（《刑法》第三百四十七条）。
  
• 其他违法犯罪活动：如诈骗、非法经营等。
  关键点：
  
• 若茶馆涉及上述违法犯罪活动，公安机关有权依法查处，并扣押相关证据（包括手机）。
  
• 若茶馆合法经营，公安机关无权因开茶馆本身扣押手机或抓人。

4. 您的权利与救济途径

• 要求公安机关出具扣押清单：若手机被扣押，您有权要求公安机关出具扣押清单，明确扣押理由、期限及负责人员。
  
• 申请返还手机：若手机与案件无关，或扣押期限已满，您可向公安机关申请返还手机。
  
• 投诉或举报：若公安机关存在违法行为（如超期扣押、未出具扣押清单等），您可向其上级机关或纪检监察部门投诉，或依法提起行政诉讼。
  
• 咨询律师：若您对公安机关的行为有疑问，或需进一步维护自身权益，可直接向我咨询，我将根据具体情况为您提供法律帮助。

5. 建议行动步骤

1. 核实扣押合法性：要求公安机关出具扣押清单，明确扣押理由和期限。
   
2. 收集证据：若认为扣押违法，收集相关证据（如扣押时的照片、视频、证人证言等）。
   
3. 咨询律师：根据具体情况，咨询专业律师，评估是否需通过法律途径维权。
   
4. 配合调查：若茶馆确实涉及违法犯罪活动，建议配合公安机关调查，争取从轻处理。

总结：开茶馆被抓且手机被扣一个月是否合法，需根据具体案情和公安机关的执法程序判断。若您认为公安机关的行为违法，或需进一步维护自身权益，可直接向我咨询，我将为您提供专业法律帮助。