结论：公司出工伤死亡私下赔偿后不报应急管理部门，这一行为是违法的。
法律背景与解释：
工伤报告义务：
- 根据《工伤保险条例》及相关法律法规，用人单位在发生工伤事故后，有义务及时向当地应急管理部门（原安全生产监督管理部门）报告，并同时通知社会保险行政部门和工伤保险经办机构。这是为了确保工伤事故能够得到及时、有效的处理，保障工伤职工的合法权益。
私下赔偿的合法性：
- 虽然用人单位与工伤职工或其家属可以就赔偿事宜进行协商，并达成私下赔偿协议，但这并不免除用人单位向应急管理部门报告工伤事故的义务。私下赔偿不能替代法定的报告程序，也不能成为逃避法律责任的理由。
不报应急管理部门的法律后果：
- 如果用人单位未按照规定报告工伤事故，应急管理部门有权对其进行处罚，包括但不限于罚款、责令改正等。
- 此外，不报告工伤事故还可能影响工伤职工或其家属享受工伤保险待遇的权利，因为工伤保险经办机构需要依据应急管理部门的报告来确认工伤事实，并据此支付工伤保险待遇。
法律建议：
及时报告：
- 用人单位在发生工伤事故后，应立即向当地应急管理部门报告，并同时通知社会保险行政部门和工伤保险经办机构。这是用人单位的法定义务，也是保障工伤职工合法权益的重要措施。
合法协商赔偿：
- 在报告工伤事故的同时，用人单位可以与工伤职工或其家属就赔偿事宜进行协商。协商过程中，应确保赔偿协议的内容合法、合理，并充分保障工伤职工或其家属的合法权益。
避免逃避法律责任：
- 用人单位不应试图通过私下赔偿来逃避法律责任。私下赔偿不能替代法定的报告程序，也不能成为逃避处罚的理由。用人单位应积极配合应急管理部门和社会保险行政部门的调查和处理工作，共同维护工伤职工的合法权益。
可能面临的法律后果举例：
- 如果用人单位未报告工伤事故，应急管理部门可能会对其处以罚款，罚款金额根据具体情况而定，可能达到数万元甚至更高。
- 同时，工伤职工或其家属可能因无法及时享受工伤保险待遇而遭受经济损失，他们有权向用人单位追偿这部分损失。
进一步思考：
- 用人单位应加强对工伤事故的预防和管理，建立健全的安全生产管理制度和应急预案，减少工伤事故的发生。
- 在发生工伤事故后，用人单位应积极与工伤职工或其家属沟通协商，寻求合法、合理的解决方案，避免矛盾升级和法律纠纷的发生。
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