在民事诉讼法中，当事人对已经发生法律效力的判决、裁定或调解书，如认为存在错误，确实可以依法申请再审。以下是申请再审的几种主要情形，我将结合具体例子和法律解释进行说明：

1. 新的证据足以推翻原判决、裁定：

   • 解释：新的证据指的是原审庭审结束后新发现的证据，这些证据如果在原审中出现，极有可能改变原判决、裁定的结果。
   • 例子：比如，在一场合同纠纷中，原审时双方就合同是否成立存在争议，但原审结束后，一方发现了新的关键证据，如合同签订时的录音或录像，能够直接证明合同确实成立，那么这一方就可以基于这一新证据申请再审。

2. 原判决、裁定认定事实的主要证据有问题：

   • 解释：这包括主要证据不足或缺乏证据证明、主要证据未经质证、主要证据是伪造的等情况。
   • 例子：在借贷纠纷中，如果原审判决主要依据的是一张伪造的借条，那么出借人就可以基于借条是伪造的事实申请再审。或者，如果关键证据如银行转账记录未经质证，也可能成为申请再审的理由。

3. 原判决、裁定适用法律确有错误：

   • 解释：这包括适用的法律与案件性质明显不符、法律条款适用错误、违反法律溯及力规定等。
   • 例子：比如，在一起知识产权侵权纠纷中，原审法院错误地适用了商标法，而实际上应该适用专利法，那么侵权方就可以基于法律适用错误申请再审。

4. 违反法律规定的诉讼程序：

   • 解释：这包括审判组织的组成不合法、剥夺当事人辩论权利、未经传票传唤缺席判决等。
   • 例子：如果原审法院在组成合议庭时，未按照法定程序回避与一方当事人存在近亲属关系的合议庭成员，那么另一方当事人就可以基于审判组织组成不合法申请再审。

5. 其他特定情形：

   • 解释：这包括不予立案或驳回起诉确有错误、原判决、裁定遗漏诉讼请求、据以作出原判决、裁定的法律文书被撤销或变更、审判人员存在违法行为等。
   • 例子：如果原审法院在立案时错误地认为案件不属于其管辖范围而予以驳回，但实际上案件确实属于其管辖范围，那么原告就可以基于不予立案确有错误申请再审。

6. 针对调解书的再审申请：

   • 解释：对于已经发生法律效力的调解书，如果调解违反自愿原则或内容违反法律，也可以申请再审。
   • 例子：如果在一起离婚纠纷中，双方在法院调解下达成协议，但事后一方发现调解协议是在被胁迫的情况下签订的，那么这一方就可以基于调解违反自愿原则申请再审。

申请再审的注意事项：

• 申请再审应当在判决、裁定或调解书发生法律效力后的六个月内提出。
• 申请再审并不停止原判决、裁定的执行，除非法院另有裁定。
• 需要提交书面再审申请书，并附上相关证据材料以支持再审请求。

综上所述，当事人在申请再审时，应仔细审查原判决、裁定或调解书是否存在上述错误或违法情形，并确保在规定的时间内按照法定程序提出申请。如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。