若在打伤对方后被拘留期间对方死亡，可能面临以下法律后果及应对措施，需分情况讨论：

1. 若死亡结果与你的伤害行为存在直接因果关系
   根据《刑法》第234条，故意伤害致人死亡可处十年以上有期徒刑、无期徒刑或死刑；过失致人死亡则处三年以上七年以下有期徒刑，情节较轻的处三年以下有期徒刑。

   • 关键点：需通过法医鉴定确认死亡原因（如是否因你的伤害导致器官衰竭、失血过多等），以及你的行为与死亡结果之间的因果关系程度。
     
   • 应对建议：立即委托律师介入，申请查阅案卷、会见当事人，分析证据链是否完整（如监控录像、证人证言、医疗记录等），争取从“故意”向“过失”辩护，或主张存在自首、立功、赔偿谅解等从轻情节。

2. 若死亡结果与你的伤害行为无直接因果关系
   例如对方因自身疾病、医疗事故或其他第三方行为导致死亡，则你的伤害行为可能单独构成故意伤害罪（未致死），但需承担民事赔偿责任。

   • 关键点：需证明死亡结果由其他独立因素介入导致（如医院抢救失误、对方隐瞒重大疾病等）。
     
   • 应对建议：律师应协助调取医疗记录、申请重新鉴定，或通过证人证言切断因果关系链，避免被错误追究更重刑事责任。

3. 程序性权利与注意事项

   • 拘留期间权利：你有权委托律师、申请取保候审、提出申诉或控告。律师可代为申请变更强制措施，或就侦查机关的违法行为（如刑讯逼供）提出异议。
     
   • 证据固定：若你主张对方死亡与己无关，需尽快固定证据（如现场环境、对方病史等），防止证据灭失。
     
   • 民事赔偿协商：即使不构成刑事犯罪，仍可能面临民事侵权赔偿（如医疗费、丧葬费、死亡赔偿金等）。建议通过律师与对方家属协商，争取达成和解以减轻处罚。

总结：对方死亡是否导致你刑事责任升级，核心在于伤害行为与死亡结果的因果关系。当前阶段需优先委托律师介入，通过专业手段分析证据、制定辩护策略，同时关注程序合法性以保障自身权益。如有具体案情细节，可进一步向我说明以便针对性分析。