1. 核心结论：合同一方死亡后，另一方起诉的方式取决于合同性质、债务性质以及是否涉及遗产等因素，一般既可能以合同纠纷起诉，也可能以遗产债务方式起诉，甚至可能两种方式并行或分阶段处理。以下分情况详细说明：

2. 情况一：合同具有人身专属性（如委托合同、演出合同等）

   • 法律逻辑：人身专属合同以特定人的技能、身份或信用为基础，一方死亡导致合同目的无法实现，合同自动终止。此时另一方通常不能直接以合同纠纷起诉要求继续履行，但可主张因合同终止产生的损失赔偿（如已支付费用的返还、预期利益损失等）。
     
   • 起诉方式：若死亡方的继承人继承了与合同相关的财产（如预付款、定金等），另一方可以遗产债务纠纷起诉继承人，要求在继承遗产范围内返还财产或赔偿损失；若未涉及遗产，则可能直接以合同纠纷起诉死亡方的继承人（需证明继承人实际接收了合同相关利益）。

3. 情况二：合同为财产性合同（如买卖合同、借款合同等）

   • 法律逻辑：财产性合同的权利义务不因一方死亡而终止，死亡方的合同义务由其继承人继承。此时另一方可以合同纠纷起诉继承人，要求继续履行合同（如交付货物、支付货款）或承担违约责任。
     
   • 特殊情形：若合同义务涉及死亡方个人行为（如提供劳务），则合同可能部分终止，另一方需根据剩余可履行部分主张权利；若死亡方无遗产或继承人放弃继承，另一方可能面临执行困难，此时可结合遗产债务纠纷主张权利。

4. 情况三：合同中明确约定一方死亡的处理方式

   • 法律逻辑：若合同已约定“一方死亡合同终止”或“死亡方的义务由其继承人承担”等条款，则按约定处理。此时另一方需根据约定选择起诉方式：若约定终止，则可能以合同纠纷起诉要求赔偿；若约定由继承人承担，则直接起诉继承人。

5. 情况四：死亡方遗产不足以清偿全部债务

   • 法律逻辑：根据《民法典》第1161条，继承人以所得遗产实际价值为限清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务。若遗产不足，另一方可能需通过遗产债务纠纷起诉所有继承人，要求按比例清偿；若合同义务未履行完毕，另一方也可同时以合同纠纷起诉继承人，主张在遗产范围内优先受偿。

6. 实务建议：

   • 第一步：固定证据（合同、履行记录、死亡证明、遗产清单等）；
     
   • 第二步：分析合同性质及债务类型，确定起诉方向；
     
   • 第三步：若涉及遗产，需在继承开始后3年内起诉（诉讼时效）；
     
   • 第四步：根据继承人情况（是否放弃继承、遗产是否足额）调整诉讼策略。
     

提示：合同纠纷与遗产债务纠纷的界限并非绝对，具体案件需结合合同条款、履行情况、遗产范围等综合判断。若有进一步疑问，可直接向我咨询具体案件细节。