结论：在对方已经支付了所欠的抚养费，并且后续仍会按月支付的情况下，您通常不需要再去法院提交额外的材料，但建议保留好相关支付证据，并关注后续支付情况。若后续出现支付问题，再根据实际情况采取相应法律措施。

详细分析：

1. 当前情况分析：

   • 对方已经支付了之前所欠的抚养费，这表明对方已经履行了部分抚养义务。
   • 对方承诺后续每个月仍会支付抚养费，这是对方对未来抚养义务的承诺。

2. 法律义务与证据保留：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，父母对子女有抚养教育的义务。抚养费是这一义务的具体体现，通常包括生活费、教育费、医疗费等。
   • 在对方已经支付所欠费用并承诺后续支付的情况下，您作为抚养权人，应保留好对方支付抚养费的证据，如银行转账记录、收条等。这些证据在后续可能出现的纠纷中将起到关键作用。

3. 后续行动建议：

   • 无需立即去法院：在当前情况下，由于对方已经履行了部分义务并承诺后续支付，您通常不需要立即去法院提交额外材料。
   • 关注支付情况：您应密切关注对方后续的抚养费支付情况。如果对方未能按时支付或拒绝支付，您可以考虑采取法律措施来维护子女的合法权益。
   • 准备法律措施：如果后续出现支付问题，您可以根据实际情况选择向法院申请强制执行、提起诉讼要求增加抚养费或变更抚养关系等法律措施。在采取这些措施前，建议您咨询专业律师以获取更具体的法律建议。

4. 特殊情况考虑：

   • 如果您与对方之间存在关于抚养费的争议或协议变更的情况，建议您及时咨询专业律师以了解相关法律程序和注意事项。
   • 如果对方的经济状况发生显著变化（如失业、重大疾病等），可能影响其支付抚养费的能力。在这种情况下，您也可以考虑与对方协商调整抚养费金额或支付方式，并保留好相关协商记录作为证据。

总结与建议： 在对方已经支付所欠抚养费并承诺后续支付的情况下，您通常不需要立即去法院提交额外材料。但建议您保留好相关支付证据，并密切关注后续支付情况。如果后续出现支付问题或存在其他争议情况，请及时咨询专业律师以获取更具体的法律建议和帮助。如有任何疑问或需要进一步的法律指导，请直接向我咨询。