结论：孩子在零食店奔跑摔倒割伤手，店里是否承担责任需根据具体情况判断，主要看店家是否尽到了安全保障义务。以下从不同角度进行分析：
一、店家责任的基础——安全保障义务
根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，宾馆、商场、银行、车站、机场、体育场馆、娱乐场所等经营场所、公共场所的经营者、管理者或者群众性活动的组织者，未尽到安全保障义务，造成他人损害的，应当承担侵权责任。在零食店这一场景中，店家作为经营场所的管理者，有义务确保店内环境安全，避免顾客（包括儿童）因店内设施或环境问题受到伤害。
二、店家可能承担责任的情形
店内设施存在安全隐患：
- 如果零食店内存在尖锐物品、突出物、湿滑地面等可能导致儿童摔倒割伤的安全隐患，且店家未设置明显的警示标志或采取必要的防护措施，那么店家可能因未尽到安全保障义务而承担责任。
店家未尽到管理职责：
- 如果店家在店内管理上存在疏忽，如未及时清理地面杂物、未制止儿童在店内奔跑等危险行为，导致儿童摔倒割伤，店家也可能因未尽到管理职责而承担责任。
三、店家可能不承担责任的情形
儿童自身行为导致：
- 如果儿童摔倒割伤是由于其自身奔跑、打闹等危险行为导致，且店家已经尽到了合理的安全保障义务和管理职责，那么店家可能不承担责任。但这种情况下，如果店家能够证明自己已经采取了必要的措施来防止此类事故的发生，如设置警示标志、提醒家长注意等，将更有助于减轻或免除其责任。
第三方因素导致：
- 如果儿童摔倒割伤是由于第三方（如其他顾客）的行为导致，且店家已经尽到了合理的安全保障义务和管理职责，那么店家可能不承担直接责任，但可能需要根据具体情况承担一定的补充责任或协助责任。
四、建议与措施
收集证据：
- 如果发生此类事故，家长应首先收集相关证据，如现场照片、视频、医疗记录等，以证明事故发生的经过和原因。
与店家协商：
- 家长可以与店家进行协商，要求店家承担相应的赔偿责任。在协商过程中，家长可以出示收集到的证据，以支持自己的主张。
寻求法律援助：
- 如果协商无果，家长可以寻求法律援助或咨询专业律师（如我），了解自己的权益和维权途径。律师将根据具体情况提供法律建议和帮助，协助家长维护自己的合法权益。
最后，每个案件的具体情况都有所不同，因此店家是否承担责任以及承担多少责任需要根据具体情况进行判断。如果您或您的孩子遇到了类似的问题，可以直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供详细的法律建议和帮助。