您好，针对您提出的“作为国企职工，6月1日满六十周岁，应该哪天退休”的问题，这主要取决于当前的退休政策以及您的具体情况。
首先，根据《国务院关于渐进式延迟法定退休年龄的办法》，自2025年起，男职工的法定退休年龄将逐步从六十周岁延迟至六十三周岁。但这一政策是逐步实施的，且具体到您个人，退休年龄的调整还会受到您的出生年份、政策实施的具体时间点以及您所在单位的具体执行情况等因素的影响。不过，就目前您提供的信息来看，若不考虑延迟退休政策对您个人的具体影响（即假设政策在您退休时已全面实施且您不受过渡期特殊安排影响，这仅为一种假设以便说明，实际情况需具体分析），且您没有选择提前退休的情况下，原本六十周岁的退休年龄可能会因政策调整而有所变动。但重要的是，在政策未明确对您这一出生年份的具体调整方案前，我们不能直接断定您的退休年龄就是六十三周岁。
然而，您也提到了几种可能的提前退休情况：
自愿弹性提前退休：如果您达到社保最低缴费年限，可以选择弹性提前退休，提前时间最长不超过三年，且退休年龄不得低于原法定退休年龄（在此政策调整前为六十周岁）。这意味着，如果您满足条件，您有可能在六十周岁之前的某个时间点退休，但最早不得早于原法定退休年龄（在政策未对您个人产生具体影响前，可暂视为六十周岁作为参考下限，实际需根据政策调整后的具体规定）。但考虑到您即将满六十周岁，且政策是逐步实施的，这一选项对您来说可能并不直接适用，除非政策有特别规定或您所在单位有特殊执行方案。
特殊工种提前退休：如果您从事的是井下、高空、高温、特别繁重体力劳动等国家规定的特殊工种，或者在高海拔地区工作，且符合相关条件（如男年满五十五周岁、连续工龄满十年等），您可以申请提前退休。但这一选项需要您满足特定的工种和工龄条件。
因病提前退休：根据最新的政策，自2025年起，企业职工不能因病或因公完全丧失劳动能力而办理提前退休或退职，而是可以申请按月领取病残津贴。因此，这一选项目前不再适用于提前退休的情况。
综合以上分析，在您即将满六十周岁且未提及特殊工种或因病等特殊情况的前提下，若不考虑延迟退休政策对您个人的具体调整（即假设您仍按原法定退休年龄退休，或政策调整对您影响较小且您选择不提前退休），您的退休时间原本应是在您满六十周岁的当月或之后（具体根据单位规定和社保流程确定）。但鉴于延迟退休政策的逐步实施，建议您及时咨询所在单位的人事部门或当地社保机构，以获取针对您个人情况的最准确、最权威的退休年龄和退休流程信息。
希望以上解答能对您有所帮助。如有其他疑问，欢迎继续咨询。