结论：授权女友签字后患者死亡，家属能否起诉需分情况讨论，主要取决于签字行为的性质、授权范围以及是否因签字行为导致患者死亡等关键因素。以下从不同角度进行详细分析：

一、签字行为的性质与授权范围

1. 医疗同意书签字：

   • 若女友是在获得患者明确授权的情况下，代为签署医疗同意书（如手术同意书、治疗同意书等），且签字内容符合医疗常规和患者真实意愿，那么家属通常难以仅凭签字行为本身起诉女友或医疗机构。
   • 但若女友的签字行为超出了患者的授权范围，或者患者并未真正理解签字内容的法律后果，家属可能有权对签字行为提出异议，并视情况起诉女友或医疗机构。

2. 其他文件签字：

   • 若女友代为签署的是与患者医疗无关的其他文件（如财产处分、遗嘱等），且这些文件与患者的死亡无直接关联，家属起诉的法律依据将更为有限。
   • 然而，如果女友的签字行为导致了患者财产的损失或权益的侵害，且这种侵害与患者的死亡存在间接联系（如因财产损失导致患者情绪恶化、治疗受阻等），家属可能有权根据具体情况起诉女友。

二、签字行为与患者死亡的关系

1. 直接因果关系：

   • 若女友的签字行为直接导致了患者的死亡（如错误地同意了高风险手术、拒绝了必要的治疗等），家属有权根据《民法典》中关于侵权责任的规定，起诉女友要求赔偿。
   • 在这种情况下，家属需要证明女友的签字行为与患者死亡之间存在直接的因果关系，以及女友在签字时存在过错（如未充分了解手术风险、未遵循患者真实意愿等）。

2. 间接因果关系：

   • 若女友的签字行为与患者死亡之间存在间接联系（如因签字行为导致患者情绪波动、治疗延误等），家属起诉的难度将增加。
   • 在这种情况下，家属需要证明女友的签字行为是患者死亡的一个合理预见因素，且女友在签字时应当预见到这种后果但未采取合理措施避免。

三、法律建议与后续行动

1. 收集证据：

   • 家属应首先收集与签字行为、患者死亡相关的所有证据，包括医疗记录、签字文件、证人证言等。
   • 这些证据将有助于证明女友的签字行为是否合法、是否超出了授权范围，以及是否与患者死亡存在因果关系。

2. 咨询专业律师：

   • 在收集到足够证据后，家属应咨询专业律师以评估起诉的可行性和胜诉几率。
   • 作为专业律师，我可以根据家属提供的证据和具体情况，提供详细的法律分析和建议。

3. 考虑和解或调解：

   • 在某些情况下，通过和解或调解解决纠纷可能更为高效和成本效益。
   • 我会根据家属的意愿和具体情况，协助家属与女友或医疗机构进行协商，寻求双方都能接受的解决方案。

总结：授权女友签字后患者死亡，家属能否起诉取决于多种因素，包括签字行为的性质、授权范围以及是否因签字行为导致患者死亡等。在处理此类纠纷时，建议家属首先收集证据并咨询专业律师，以评估起诉的可行性和制定合适的法律策略。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。