在原告死亡后，其继承人参与诉讼时，管辖的确定主要遵循以下原则和步骤：
原有管辖基础不变：
- 通常情况下，原告死亡并不改变原有诉讼的管辖基础。也就是说，如果原先的诉讼是基于特定的地域管辖（如被告住所地、合同履行地等）或专属管辖（如不动产纠纷由不动产所在地法院管辖）来确定的，那么这些管辖原则在原告死亡后依然适用。
继承人参与诉讼不影响管辖：
- 原告死亡后，其继承人作为新的原告参与诉讼，这并不构成一个新的诉讼开始，而是原有诉讼的继续。因此，管辖法院不会因为原告的变更而改变。继承人应当在原有诉讼的管辖法院内继续进行诉讼。
特殊情况下的管辖调整：
- 尽管在大多数情况下管辖不会因原告死亡而改变，但也存在一些特殊情况。例如，如果原告死亡后，继承人分布在不同的地区，且继承纠纷本身成为了诉讼的主要内容，那么在某些情况下，可能会考虑到继承纠纷的特殊性，对管辖进行适当的调整。然而，这种情况下的管辖调整并不是自动的，而是需要根据具体的法律规定和法院的裁量权来决定。
遵循法定程序：
- 在确定管辖时，必须严格遵循法定的程序。这包括但不限于：审查诉讼材料以确定原有的管辖基础、通知继承人参与诉讼、听取继承人的意见（如果必要的话）、以及根据法律规定和法院的裁量权作出最终的管辖决定。
总结来说，原告死亡后，其继承人参与诉讼时，管辖的确定主要基于原有的管辖基础不变的原则。在大多数情况下，继承人应当在原有诉讼的管辖法院内继续进行诉讼。当然，如果存在特殊情况或需要进一步的法律指导，建议直接向我咨询，我会根据具体情况提供详细的法律建议。