当服刑人员的家属面临无力缴纳刑事案件判决中的罚金时，确实是一个棘手的问题，但并非没有解决的办法。以下是一些详细且具有深度的建议，希望能为您提供帮助：

一、深入了解法律规定与罚金的性质

首先，要明确罚金的法律性质。罚金是刑法规定的附加刑之一，它不同于民事赔偿，不是以被害人的实际损失为限，而是根据犯罪情节、被告人的经济状况等因素由法院综合考量后决定。根据《中华人民共和国刑法》第五十三条的规定，罚金应在判决指定的期限内一次或者分期缴纳。若期满不缴纳，法院将强制缴纳。然而，如果确实因为遭遇不能抗拒的灾祸等原因导致缴纳困难，经法院裁定，可以延期缴纳、酌情减少或者免除。

二、积极申请减免或延期缴纳

1. 准备证明材料：

   • 家属应收集并准备相关证明材料，如家庭收入证明、贫困证明、医疗费用单据等，以证明当前的经济困难状况。

2. 提交申请：

   • 基于这些证明材料，家属可以向法院提出减免罚金数额或延期缴纳的申请。在申请中，应详细说明家庭的经济状况、无法缴纳罚金的原因以及未来的还款计划（如果可能的话）。

3. 等待法院审查与裁定：

   • 法院会根据家属提交的申请和证明材料进行审查，并作出相应的裁定。如果法院认为申请合理，可能会批准减免或延期缴纳罚金。

三、积极履行其他义务以争取从宽处理

1. 配合案件调查与处理：

   • 家属应积极配合司法机关的调查和处理工作，如实提供相关信息和材料，以展现良好的合作态度。

2. 鼓励服刑人员积极改造：

   • 通过书信、探视等方式鼓励服刑人员认真接受教育改造，争取早日回归社会。良好的改造表现有助于服刑人员获得法院的从宽处理，包括可能的罚金减免。

3. 参与社区服务与公益活动：

   • 在可能的情况下，家属可以积极参与社区服务或公益活动，展现良好的社会责任感和道德风尚。这有助于提升家庭形象，为争取罚金减免创造有利条件。

四、寻求法律援助与专业咨询

1. 法律咨询：

   • 如果家属对罚金问题存在疑问或困惑，可以咨询专业律师或法律援助机构的工作人员。他们可以提供专业的法律意见和帮助，指导家属如何更好地应对这一问题。

2. 申请法律援助：

   • 如果家属符合法律援助的条件（如经济困难等），可以申请法律援助。由专业律师为其提供免费的法律服务，包括代理申请减免或延期缴纳罚金等。

五、保持与法院的沟通

在整个过程中，家属应保持与法院的沟通联系，及时了解案件的进展和法院的裁定结果。如果法院有任何要求或需要补充的材料，家属应积极配合提供。

总之，面对无力缴纳刑事案件判决中的罚金这一问题，家属应保持冷静和理性，积极了解法律规定和罚金性质，准备相关证明材料并申请减免或延期缴纳。同时，积极履行其他义务以争取从宽处理，并寻求法律援助与专业咨询。希望这些建议能对您有所帮助。